広島大学 2018年度理系数学第5問解答・解説

問題

座標平面上の曲線

C : y = x^{3} - 3 x

と、条件

b > a^{3} - 3 a

を満たしながら動く点 $P (a, b)$ を考える。

点 $P$ に対し、二つの不等式

∣ x - a ∣ ≦ 1, ∣ y - b ∣ ≦ 1

で表される正方形領域を $B$ とする。 $B$ と $C$ が共有点 $Q$ をもち、共有点が $B$ の境界線上にしかないとき、 $B$ と $C$ は点 $Q$ で接するということにする。次の問いに答えよ。

(1) 曲線 $C$ の概形を描き、さらに

P = (- 2, 3)

のときの領域 $B$ を図示せよ。

(2) $B$ と $C$ が $x < - 1$ の範囲の点で接するように $P$ が動くとき、点 $P$ の軌跡を求めよ。

(3) $B$ と $C$ がある点で接するように $P$ が動くとき、点 $P$ の軌跡を求めよ。

(4) (3) の軌跡は、ある関数

y = f (x)

のグラフで表せる。この関数は $x = 0$ で微分可能であることを示せ。

出典：広島大学 2018年度前期理系第5問

方針

解法1

領域 $B$ は中心 $(a, b)$ ，上下左右に1だけ離れた正方形である。 $P$ が曲線の上側にあるので，接する条件は区間 $[a - 1, a + 1]$ 上の $x^{3} - 3 x$ の最大値が $b - 1$ に等しいこととして扱える。最大値を端点と極大点 $- 1$ で比較し，軌跡を場合分けで求める。

解法2

正方形の底辺の高さ $b - 1$ が、幅2の区間 $[a - 1, a + 1]$ における $g (x) = x^{3} - 3 x$ の最大値に一致すると考える。最大値の候補を左端・右端・極大点 $- 1$ の3つに絞り、その上包絡線として軌跡を作る。

解答

解法1

(1)

$y = x^{3} - 3 x$ とおくと， $y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ である。したがって $x = - 1$ で極大値 $2$ ， $x = 1$ で極小値 $- 2$ をとる三次曲線である。

$P = (- 2, 3)$ のとき，領域 $B$ は

- 3 ≦ x ≦ - 1, 2 ≦ y ≦ 4

で表される正方形である。

(2)

接点の $x$ 座標を $s$ とする。 $s < - 1$ で接するとき，曲線はその付近で増加しているので，正方形の下辺の右端側で接する。したがって

a = s - 1, b = (s^{3} - 3 s) + 1

である。 $s < - 1$ より $a < - 2$ であり， $s = a + 1$ として

b = (a + 1)^{3} - 3 (a + 1) + 1 = a^{3} + 3 a^{2} - 1

を得る。よって点 $P = (a, b)$ の軌跡は

y = x^{3} + 3 x^{2} - 1 (x < - 2)

である。

(3)

$g (x) = x^{3} - 3 x$ とおく。 $P = (a, b)$ に対して， $B$ と $C$ が接する条件は

b = 1 + a - 1 ≦ x ≦ a + 1 max g (x)

である。 $g (x)$ は $- 1$ で極大値 $2$ をとり，端点での値は

g (a - 1) + 1 = a^{3} - 3 a^{2} + 3, g (a + 1) + 1 = a^{3} + 3 a^{2} - 1

である。これらを比較すると，軌跡は次の関数のグラフで表される。

y = f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{3} + 3 x^{2} - 1 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 1 (x ≦ - 2), (- 2 ≦ x ≦ 0), (0 ≦ x ≦ \frac{2}{3}), (\frac{2}{3} ≦ x) .

(4)

(3)より， $x = 0$ の左側では $f (x) = 3$ ，右側では $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ である。したがって

x \to 0 - lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = 0, x \to 0 + lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = x \to 0 + lim (x^{2} - 3 x) = 0

である。左右の微分係数が一致するので， $y = f (x)$ は $x = 0$ で微分可能である。

解法2

(1)

g (x) = x^{3} - 3 x

とおくと

g^{'} (x) = 3 (x - 1) (x + 1) .

したがって $x = - 1$ で極大値 $2$ 、 $x = 1$ で極小値 $- 2$ をとる。

$P = (- 2, 3)$ のとき

B = {(x, y) ∣ - 3 ≦ x ≦ - 1, 2 ≦ y ≦ 4} .

この正方形は曲線と $(- 1, 2)$ で接する。

(2)

接点の $x$ 座標を $s < - 1$ とする。この範囲で $g$ は増加しているので、区間 $[a - 1, a + 1]$ 上の最大値は右端 $s = a + 1$ でとる。接点は正方形の下辺上にあるから

b - 1 = g (a + 1) .

よって

b = 1 + (a + 1)^{3} - 3 (a + 1) = a^{3} + 3 a^{2} - 1.

また $a + 1 < - 1$ より $a < - 2$ である。したがって軌跡は

y = x^{3} + 3 x^{2} - 1 (x < - 2) .

(3)

一般に接する条件は

b = 1 + a - 1 ≦ t ≦ a + 1 max g (t) .

最大値の候補は、区間の両端と、区間内に入るときの極大点 $t = - 1$ である。3つの候補は

R (a) = 1 + g (a + 1) = a^{3} + 3 a^{2} - 1,

L (a) = 1 + g (a - 1) = a^{3} - 3 a^{2} + 3,

M = 1 + g (- 1) = 3.

$a ≦ - 2$ では区間全体が $- 1$ の左側にあり、 $g$ は増加するので最大は $R (a)$ である。

$- 2 ≦ a ≦ 0$ では区間が $- 1$ を含み、両端の値も $M = 3$ 以下だから最大は $M$ である。

$a ≧ 0$ では極大点は区間に入らず、両端を比較すればよい。差は

L (a) - R (a) = 4 - 6 a^{2} .

したがって

0 ≦ a ≦ \frac{2}{3}

では $L (a)$ 、

a ≧ \frac{2}{3}

では $R (a)$ が最大である。

以上より

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{3} + 3 x^{2} - 1 3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 1 (x ≦ - 2), (- 2 ≦ x ≦ 0), (0 ≦ x ≦ \frac{2}{3}), (\frac{2}{3} ≦ x) .

(4)

$x = 0$ の左側では $f (x) = 3$ 、右側では

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3.

また $f (0) = 3$ で連続である。左右の差商は

x \to 0 - lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = 0,

x \to 0 + lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x} = x \to 0 + lim (x^{2} - 3 x) = 0.

両者が一致するので、 $f$ は $x = 0$ で微分可能である。

広島大学 2018年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

(4)

解法2

(1)

(2)

(3)

(4)

広島大学 2018年度
理系数学第5問