広島大学 2018年度 前期理系数学 第5問

(1)
$y=x^3-3x$ とおくと，$y^{\mathrm{\prime }}=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ である。したがって $x=-1$ で極大値 $2$，$x=1$ で極小値 $-2$ をとる三次曲線である。

$P=(-2,3)$ のとき，領域 $B$ は$$-3\leqq x\leqq -1,2\leqq y\leqq 4$$で表される正方形である。

(2)
接点の $x$ 座標を $s$ とする。$s<-1$ で接するとき，曲線はその付近で増加しているので，正方形の下辺の右端側で接する。したがって$$a=s-1,b=(s^3-3s)+1$$である。$s<-1$ より $a<-2$ であり，$s=a+1$ として$$b=(a+1{)}^3-3(a+1)+1=a^3+3a^2-1$$を得る。よって点 $P=(a,b)$ の軌跡は$$y=x^3+3x^2-1(x<-2)$$である。

(3)
$g(x)=x^3-3x$ とおく。$P=(a,b)$ に対して，$B$ と $C$ が接する条件は$$b=1+\underset{a-1\leqq x\leqq a+1}{\max }g(x)$$である。$g(x)$ は $-1$ で極大値 $2$ をとり，端点での値は$$g(a-1)+1=a^3-3a^2+3,g(a+1)+1=a^3+3a^2-1$$である。これらを比較すると，軌跡は次の関数のグラフで表される。$$y=f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+3x^2-1& (x\leqq -2),\\ 3& (-2\leqq x\leqq 0),\\ x^3-3x^2+3& (0\leqq x\leqq \sqrt{\frac{2}{3}}),\\ x^3+3x^2-1& (\sqrt{\frac{2}{3}}\leqq x)\mathrm{.}\end{array}$$(4)
(3)より，$x=0$ の左側では $f(x)=3$，右側では $f(x)=x^3-3x^2+3$ である。したがって$$\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=0,\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0+}{\lim }(x^2-3x)=0$$である。左右の微分係数が一致するので，$y=f(x)$ は $x=0$ で微分可能である。

正方形の底辺の高さ $b-1$ が、幅2の区間 $[a-1,a+1]$ における $g(x)=x^3-3x$ の最大値に一致すると考える。最大値の候補を左端・右端・極大点 $-1$ の3つに絞り、その上包絡線として軌跡を作る。

(1) $$g(x)=x^3-3x$$とおくと$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=3(x-1)(x+1)\mathrm{.}$$したがって $x=-1$ で極大値 $2$、$x=1$ で極小値 $-2$ をとる。

$P=(-2,3)$ のとき$$B=\{(x,y)\mid -3\leqq x\leqq -1,2\leqq y\leqq 4\}\mathrm{.}$$この正方形は曲線と $(-1,2)$ で接する。

(2)

接点の $x$ 座標を $s<-1$ とする。この範囲で $g$ は増加しているので、区間 $[a-1,a+1]$ 上の最大値は右端 $s=a+1$ でとる。接点は正方形の下辺上にあるから$$b-1=g(a+1)\mathrm{.}$$よって$$b=1+(a+1{)}^3-3(a+1)=a^3+3a^2-1.$$また $a+1<-1$ より $a<-2$ である。したがって軌跡は$$y=x^3+3x^2-1(x<-2)\mathrm{.}$$(3)

一般に接する条件は$$b=1+\underset{a-1\leqq t\leqq a+1}{\max }g(t)\mathrm{.}$$最大値の候補は、区間の両端と、区間内に入るときの極大点 $t=-1$ である。3つの候補は$$R(a)=1+g(a+1)=a^3+3a^2-1,$$$$L(a)=1+g(a-1)=a^3-3a^2+3,$$$$M=1+g(-1)=3.$$$a\leqq -2$ では区間全体が $-1$ の左側にあり、$g$ は増加するので最大は $R(a)$ である。

$-2\leqq a\leqq 0$ では区間が $-1$ を含み、両端の値も $M=3$ 以下だから最大は $M$ である。

$a\geqq 0$ では極大点は区間に入らず、両端を比較すればよい。差は$$L(a)-R(a)=4-6a^2\mathrm{.}$$したがって$$0\leqq a\leqq \sqrt{\frac{2}{3}}$$では $L(a)$、$$a\geqq \sqrt{\frac{2}{3}}$$では $R(a)$ が最大である。

以上より$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3+3x^2-1& (x\leqq -2),\\ 3& (-2\leqq x\leqq 0),\\ x^3-3x^2+3& (0\leqq x\leqq \sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}),\\ x^3+3x^2-1& (\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}\leqq x)\mathrm{.}\end{array}$$(4)

$x=0$ の左側では $f(x)=3$、右側では$$f(x)=x^3-3x^2+3.$$また $f(0)=3$ で連続である。左右の差商は$$\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=0,$$$$\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0+}{\lim }(x^2-3x)=0.$$両者が一致するので、$f$ は $x=0$ で微分可能である。