広島大学 2018年度 前期理系数学 第2問

(1)
四角形 $ABCD$ の頂点は反時計回りなので，辺 $AB$ の外側は，$A$ から $B$ へ向かう向きの右側である。したがって，点 $P$ を表す複素数を $p$ とすると$$p=\frac{\alpha +\beta }{2}-\frac{i(\beta -\alpha )}{2}=\frac{(1+i)\alpha +(1-i)\beta }{2}$$である。

(2)
同様に$$q=\frac{(1+i)\beta +(1-i)\gamma }{2},r=\frac{(1+i)\gamma +(1-i)\delta }{2},s=\frac{(1+i)\delta +(1-i)\alpha }{2}$$である。四角形 $PQRS$ が平行四辺形であることは $p+r=q+s$ と同値である。計算すると$$p+r-q-s=i(\alpha -\beta +\gamma -\delta )$$であるから，条件は$$\alpha +\gamma =\beta +\delta$$である。これは四角形 $ABCD$ の対角線の中点が一致することを表す。よって必要十分条件は，四角形 $ABCD$ が平行四辺形であることである。

(3)
四角形 $ABCD$ が平行四辺形であるとする。$u=\beta -\alpha$，$v=\gamma -\beta$ とおくと，$\delta -\gamma =-u$ である。すると$$q-p=\frac{(1+i)u+(1-i)v}{2},$$$$r-q=\frac{(1+i)v-(1-i)u}{2}=i(q-p)$$である。したがって隣り合う辺 $PQ$ と $QR$ は長さが等しく，互いに垂直である。(2)より $PQRS$ は平行四辺形でもあるから，$PQRS$ は正方形である。

各斜辺ベクトルを時計回りに ${90}^{\circ }$ 回転して半分にしたベクトルを、その辺の中点へ加える。まず図で外側の符号を固定し、対角線の中点条件と隣辺の回転関係をベクトルとして整理する。

(1)

複素数に $-i$ を掛けることは、対応するベクトルを時計回りに ${90}^{\circ }$ 回転することを表す。辺 $AB$ の中点から外側の頂点 $P$ へ向かうベクトルは$$-\frac{i}{2}(\beta -\alpha )$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p}& {\displaystyle =\frac{\alpha +\beta }{2}-\frac{i}{2}(\beta -\alpha )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(1+i)\alpha +(1-i)\beta }{2}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

同じ回転を各辺に施すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle q}& {\displaystyle =\frac{(1+i)\beta +(1-i)\gamma }{2},}\\ {\displaystyle r}& {\displaystyle =\frac{(1+i)\gamma +(1-i)\delta }{2},}\\ {\displaystyle s}& {\displaystyle =\frac{(1+i)\delta +(1-i)\alpha }{2}\mathrm{.}}\end{array}$$四角形 $PQRS$ が平行四辺形であるための必要十分条件は、対角線の中点が一致すること、すなわち$$p+r=q+s$$である。左辺と右辺の差を計算すると$$p+r-q-s=i(\alpha -\beta +\gamma -\delta )\mathrm{.}$$よって条件は$$\alpha +\gamma =\beta +\delta \mathrm{.}$$これは $AC$ と $BD$ の中点が一致する条件なので、$ABCD$ が平行四辺形であることと同値である。

(3)

$ABCD$ が平行四辺形であるとし$$u=\beta -\alpha ,v=\gamma -\beta$$とおく。上の頂点表示から$$\overrightarrow{PQ}=\frac{(1+i)u+(1-i)v}{2},$$$$\overrightarrow{QR}=\frac{(1+i)v-(1-i)u}{2}\mathrm{.}$$ここで$$i\overrightarrow{PQ}=\frac{(i-1)u+(1+i)v}{2}=\overrightarrow{QR}\mathrm{.}$$したがって $\overrightarrow{QR}$ は $\overrightarrow{PQ}$ を反時計回りに ${90}^{\circ }$ 回転したベクトルである。ゆえに$$PQ=QR,PQ\perp QR\mathrm{.}$$(2)より $PQRS$ は平行四辺形でもあるので、4辺が等しく1つの角が直角である。したがって $PQRS$ は正方形である。