広島大学 2018年度理系数学第2問解答・解説

問題

複素数平面上の4点

A (α), B (β), C (γ), D (δ)

を頂点とする凸四角形 $A B C D$ を考える。頂点は反時計回りに $A, B, C, D$ の順に並ぶものとする。

四角形の外側に、4辺 $A B, B C, C D, D A$ をそれぞれ斜辺とする直角二等辺三角形

A P B, B QC, C R D, D S A

を作る。次の問いに答えよ。

(1) 点 $P$ を表す複素数を求めよ。

(2) 四角形 $P QR S$ が平行四辺形であるための必要十分条件を、四角形 $A B C D$ の性質として答えよ。

(3) 四角形 $P QR S$ が平行四辺形であるならば、 $P QR S$ は正方形であることを示せ。

出典：広島大学 2018年度前期理系第2問

方針

解法1

各辺の外側に作る直角二等辺三角形の頂点を，辺の中点から辺ベクトルを $- 9 0^{\circ}$ 回転した点として表す。平行四辺形条件は対角線の中点一致 $p + r = q + s$ で判定し，最後は隣り合う辺ベクトルが $9 0^{\circ}$ 回転の関係になることを示す。

解法2

各斜辺ベクトルを時計回りに $9 0^{\circ}$ 回転して半分にしたベクトルを、その辺の中点へ加える。まず図で外側の符号を固定し、対角線の中点条件と隣辺の回転関係をベクトルとして整理する。

解答

解法1

(1)

四角形 $A B C D$ の頂点は反時計回りなので，辺 $A B$ の外側は， $A$ から $B$ へ向かう向きの右側である。したがって，点 $P$ を表す複素数を $p$ とすると

p = \frac{α + β}{2} - \frac{i ( β - α )}{2} = \frac{( 1 + i ) α + ( 1 - i ) β}{2}

である。

(2)

同様に

q = \frac{( 1 + i ) β + ( 1 - i ) γ}{2}, r = \frac{( 1 + i ) γ + ( 1 - i ) δ}{2}, s = \frac{( 1 + i ) δ + ( 1 - i ) α}{2}

である。四角形 $P QR S$ が平行四辺形であることは $p + r = q + s$ と同値である。計算すると

p + r - q - s = i (α - β + γ - δ)

であるから，条件は

α + γ = β + δ

である。これは四角形 $A B C D$ の対角線の中点が一致することを表す。よって必要十分条件は，四角形 $A B C D$ が平行四辺形であることである。

(3)

四角形 $A B C D$ が平行四辺形であるとする。 $u = β - α$ ， $v = γ - β$ とおくと， $δ - γ = - u$ である。すると

q - p = \frac{( 1 + i ) u + ( 1 - i ) v}{2},

r - q = \frac{( 1 + i ) v - ( 1 - i ) u}{2} = i (q - p)

である。したがって隣り合う辺 $P Q$ と $QR$ は長さが等しく，互いに垂直である。(2)より $P QR S$ は平行四辺形でもあるから， $P QR S$ は正方形である。

解法2

(1)

複素数に $- i$ を掛けることは、対応するベクトルを時計回りに $9 0^{\circ}$ 回転することを表す。辺 $A B$ の中点から外側の頂点 $P$ へ向かうベクトルは

- \frac{i}{2} (β - α)

だから

p = \frac{α + β}{2} - \frac{i}{2} (β - α) = \frac{( 1 + i ) α + ( 1 - i ) β}{2} .

(2)

同じ回転を各辺に施すと

q r s = \frac{( 1 + i ) β + ( 1 - i ) γ}{2}, = \frac{( 1 + i ) γ + ( 1 - i ) δ}{2}, = \frac{( 1 + i ) δ + ( 1 - i ) α}{2} .

四角形 $P QR S$ が平行四辺形であるための必要十分条件は、対角線の中点が一致すること、すなわち

p + r = q + s

である。左辺と右辺の差を計算すると

p + r - q - s = i (α - β + γ - δ) .

よって条件は

α + γ = β + δ .

これは $A C$ と $B D$ の中点が一致する条件なので、 $A B C D$ が平行四辺形であることと同値である。

(3)

$A B C D$ が平行四辺形であるとし

u = β - α, v = γ - β

とおく。上の頂点表示から

P Q = \frac{( 1 + i ) u + ( 1 - i ) v}{2},

QR = \frac{( 1 + i ) v - ( 1 - i ) u}{2} .

ここで

i P Q = \frac{( i - 1 ) u + ( 1 + i ) v}{2} = QR .

したがって $QR$ は $P Q$ を反時計回りに $9 0^{\circ}$ 回転したベクトルである。ゆえに

P Q = QR, P Q ⊥ QR .

(2)より $P QR S$ は平行四辺形でもあるので、4辺が等しく1つの角が直角である。したがって $P QR S$ は正方形である。

広島大学 2018年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

(3)

解法2

(1)

(2)

(3)

広島大学 2018年度
理系数学第2問