広大 2022年度文系数学第3問｜問題・解答・解説

広島大学 2022年度前期文系数学第3問

$n$ を自然数とする．袋の中に赤玉が $3$ 個，白玉が $(n + 5)$ 個，合計で $(n + 8)$ 個の玉が入っている．また，空箱 $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F$ が用意されている．この準備の下で次の試行１，試行２を順に行う．
試行１　袋から玉を $1$ 個取り出して，箱 $A$ に入れる．箱 $A$ に入れた玉が白玉なら $i = 0,$ 赤玉なら $i = 1$ とおく．
試行２　次に，袋から白玉を $n$ 個取り出して，箱 $B$ に入れる．この時点で，袋に残った玉 $7$ 個のうち，赤玉は $(3 - i)$ 個，白玉は $(4 + i)$ 個である．この $7$ 個の中から $2$ 個の玉を取り出して，箱 $C$ に入れる．
　試行２を終えたら，箱 $A$ と箱 $C$ の玉の色を記録して，箱 $A,$ $B,$ $C$ の玉をすべて元通り袋に戻す．そして次の試行３を行う．
試行３　袋から玉を $1$ 個取り出して，箱 $D$ に入れる．次に，袋から玉を $n$ 個取り出して，箱 $E$ に入れる．最後に袋から玉を $2$ 個取り出して，箱 $F$ に入れる．
　このとき，次の問いに答えよ．
(1)　 $i = 0$ であったとき，試行２において箱 $C$ に赤玉が $2$ 個入る条件付き確率 $p_{0}$ を求めよ．また， $i = 1$ であったとき，試行２において箱 $C$ に赤玉が $2$ 個入る条件付き確率 $p_{1}$ を求めよ．
(2)　試行１において，箱 $A$ に赤玉が入る確率 $q_{A}$ を $n$ を用いて表せ．また，試行１，試行２を順に行うとき，箱 $C$ に赤玉が $2$ 個入る確率 $q_{C}$ を $n$ を用いて表せ．
(3)　試行３において，箱 $D$ に赤玉が入るという事象を事象 $X,$ 箱 $E$ に入る玉がすべて白であるという事象を事象 $Y,$ 箱 $F$ に赤玉が $2$ 個入るという事象を事象 $Z$ と呼ぶことにする．事象 $X$ と事象 $Y$ がともに起こる確率 $P (X \cap Y)$ を $n$ を用いて表せ．また，事象 $Y$ と事象 $Z$ がともに起こる確率 $P (Y \cap Z)$ を $n$ を用いて表せ．
(4)　(3)の事象 $Y$ が起こったとき，(3)の事象 $X$ が起こる条件付き確率 $P_{Y} (X)$ と，(3)の事象 $Z$ が起こる条件付き確率 $P_{Y} (Z)$ をそれぞれ求めよ．

難易度6/ 10計算量6/ 10目安22分

方針

試行2は試行1後の赤玉数で場合分けする。試行3は，箱 $D$ の玉が赤か白かで場合分けし，箱 $E$ に白玉だけが入る確率を組合せで表す。最後に $P (Y)$ を求めて条件付き確率にする。

解答

(1)
$i = 0$ のとき，残った7個のうち赤玉は3個であるから $p_{0} = \frac{_{3} C_{2}}{_{7} C_{2}} = \frac{1}{7}$ である。 $i = 1$ のとき，残った7個のうち赤玉は2個であるから $p_{1} = \frac{_{2} C_{2}}{_{7} C_{2}} = \frac{1}{21}$ である。

(2)
試行1で箱 $A$ に赤玉が入る確率は $q_{A} = \frac{3}{n + 8}$ である。また $q_{C} = \frac{n + 5}{n + 8} p_{0} + \frac{3}{n + 8} p_{1}$ であるから $q_{C} = \frac{n + 5}{7 (n + 8)} + \frac{3}{21 (n + 8)} = \frac{n + 6}{7 (n + 8)}$ である。

(3)
まず $X \cap Y$ を考える。箱 $D$ に赤玉が入り，その後，残った $n + 7$ 個から箱 $E$ に入る $n$ 個がすべて白である確率は $P (X \cap Y) = \frac{3}{n + 8} \cdot \frac{_{n + 5} C_{n}}{_{n + 7} C_{n}} = \frac{126}{(n + 8) (n + 7) (n + 6)}$ である。

次に $Y \cap Z$ を考える。箱 $D$ に赤玉が入る場合の寄与は $\frac{3}{n + 8} \cdot \frac{_{n + 5} C_{n}}{_{n + 7} C_{n}} \cdot \frac{_{2} C_{2}}{_{7} C_{2}} = \frac{6}{(n + 8) (n + 7) (n + 6)}$ である。箱 $D$ に白玉が入る場合の寄与は $\frac{n + 5}{n + 8} \cdot \frac{_{n + 4} C_{n}}{_{n + 7} C_{n}} \cdot \frac{_{3} C_{2}}{_{7} C_{2}} = \frac{30}{(n + 8) (n + 7) (n + 6)}$ である。したがって $P (Y \cap Z) = \frac{36}{(n + 8) (n + 7) (n + 6)}$ である。

(4)
箱 $E$ に入る $n$ 個がすべて白である確率は $P (Y) = \frac{_{n + 5} C_{n}}{_{n + 8} C_{n}} = \frac{336}{(n + 8) (n + 7) (n + 6)}$ である。よって $P_{Y} (X) = \frac{P (X \cap Y)}{P (Y)} = \frac{126}{336} = \frac{3}{8}$ であり， $P_{Y} (Z) = \frac{P (Y \cap Z)}{P (Y)} = \frac{36}{336} = \frac{3}{28}$ である。

別解

解法2（事象Yを先に条件として固定する方法）

方針

(1) (2)は全確率で計算する。(3)(4)は先に事象 $Y$ を固定すると、
残る8個が赤3・白5となり、 $X, Z$ の条件付き確率を直接読める。

解答

(1)
$i = 0$ なら残りは赤3・白4、 $i = 1$ なら赤2・白5だから $p_{0} = \frac{_{3} C_{2}}{_{7} C_{2}} = \frac{1}{7}, p_{1} = \frac{_{2} C_{2}}{_{7} C_{2}} = \frac{1}{21} .$ (2) $q_{A} = \frac{3}{n + 8}, q_{C} = \frac{n + 5}{n + 8} \cdot \frac{1}{7} + \frac{3}{n + 8} \cdot \frac{1}{21} = \frac{n + 6}{7 (n + 8)} .$ (3)
$Y$ の下で残る8個は赤3・白5である。したがって $\begin{aligned} P (Y) & = \frac{_{n + 5} C_{n}}{_{n + 8} C_{n}} = \frac{336}{(n + 8) (n + 7) (n + 6)}, \\ P_{Y} (X) & = \frac{3}{8}, P_{Y} (Z) = \frac{_{3} C_{2}}{_{8} C_{2}} = \frac{3}{28}, \\ P (X \cap Y) & = \frac{126}{(n + 8) (n + 7) (n + 6)}, \\ P (Y \cap Z) & = \frac{36}{(n + 8) (n + 7) (n + 6)} . \end{aligned}$ (4)
上の2行目より $P_{Y} (X) = \frac{3}{8}, P_{Y} (Z) = \frac{3}{28} .$

総評

難度6，計算量6。想定時間は22分程度。試行2では白玉を指定して取り出す点，試行3では単に玉を取り出す点を区別する必要がある。条件付き確率は分母の $P (Y)$ を別に計算し， $D$ の色による場合分けを整理できるかが得点差になる。広島大学公式の問題・出題意図と独立解答を照合し、結論・設問番号・論理の流れを再確認した。

出典: 広島大学 2022年度前期共通数学第3（理系では4）問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

広島大学 2022年度 前期文系数学 第3問

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