広島大学 2023年度 前期理系数学 第1問

(1)
全事象は$N^4$通りである。4回とも同じ番号である場合は，その番号の選び方が$N$通りであるから，求める確率は$$\frac{N}{N^4}=\frac{1}{N^3}$$である。

(2)
4回で互いに異なる番号が出る場合は，順に番号を選ぶと$$N(N-1)(N-2)(N-3)$$通りである。したがって求める確率は$$\frac{N(N-1)(N-2)(N-3)}{N^4}=\frac{(N-1)(N-2)(N-3)}{N^3}$$である。

(3)
3回出る番号を選ぶ方法が$N$通り，残り1回に出る番号を選ぶ方法が$N-1$通り，その残り1回の位置が4通りである。よって求める確率は$$\frac{4N(N-1)}{N^4}=\frac{4(N-1)}{N^3}$$である。

(4)
4回のうち，ちょうど1組だけ同じ番号になる。2回出る番号の選び方が$N$通り，その位置の選び方が${}_4{\mathrm{C}}_2=6$通り，残り2か所に入る異なる番号の選び方が順序も含めて$(N-1)(N-2)$通りである。したがって求める確率は$$\frac{6N(N-1)(N-2)}{N^4}=\frac{6(N-1)(N-2)}{N^3}$$である。

4回の結果を長さ4の列とみなす。先に「使われた番号の集合」を選び、次に各番号が少なくとも1回現れる並べ方を数える。重複の型を明示すれば、数え漏れと二重計数を同時に防げる。

どの結果も同様に確からしく、結果の総数は$$N^4$$である。

(1)
使われる番号を1個選べば、列はその番号だけで決まる。したがって該当する列は $N$ 個で、$$\mathrm{Pr}(X=Y=Z=W)=\frac{N}{N^4}=\frac{1}{N^3}\mathrm{.}$$(2)
使う4番号の集合を選ぶ方法が ${}_N{\mathrm{C}}_4$ 通り、その4番号を4か所に並べる方法が $4!$ 通りである。よって$$\mathrm{Pr}(\text{4個とも異なる})=\frac{{}_N{\mathrm{C}}_{4}4!}{N^4}=\frac{(N-1)(N-2)(N-3)}{N^3}\mathrm{.}$$(3)
使う2番号の集合を選び、そのうち3回現れる番号を指定し、その位置を選ぶ。該当する列は$${}_N{\mathrm{C}}_2\cdot 2\cdot {}_4{\mathrm{C}}_3=4N(N-1)$$個である。したがって$$\mathrm{Pr}(\text{3個が同じで残り1個が異なる})=\frac{4N(N-1)}{N^4}=\frac{4(N-1)}{N^3}\mathrm{.}$$(4)
使われる3番号の出現回数は $2,1,1$ である。まず3番号の集合を選び、2回現れる番号を選び、その番号の2位置を選び、残り2番号を並べる。したがって該当する列は$${}_N{\mathrm{C}}_3\cdot 3\cdot {}_4{\mathrm{C}}_2\cdot 2!=36{}_N{\mathrm{C}}_3=6N(N-1)(N-2)$$個である。よって$$\mathrm{Pr}(\text{異なる番号がちょうど3個})=\frac{6(N-1)(N-2)}{N^3}\mathrm{.}$$