広島大学 2023年度 前期理系数学 第3問

(1)
四角形$ABCD$は正方形であるから$$\vec{b}\cdot \vec{d}=0$$である。また，$AB=AE=BE=1$より$$\mathrm{\mid }\vec{e}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=1$$である。したがって$$1+1-2\vec{b}\cdot \vec{e}=1$$より$$\vec{b}\cdot \vec{e}=\frac{1}{2}$$である。同様に$$\vec{d}\cdot \vec{e}=\frac{1}{2}$$である。

(2)
正八面体では，$E$と$F$は正方形$ABCD$の中心に関して反対側にある。よって$$\overrightarrow{AF}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{e}$$である。したがって$$p=1,q=1,r=-1$$である。

(3)
$BG:GE=1:2$であるから$$\overrightarrow{AG}=\frac{2\vec{b}+\vec{e}}{3}$$である。また，$CH:HF=t:(1-t)$より$$\overrightarrow{AH}=(1-t)\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AF}=\vec{b}+\vec{d}-t\vec{e}$$である。(1)の内積を用いると$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AG}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{7}{9},\mathrm{\mid }\overrightarrow{AH}{\mathrm{\mid }}^2=t^2-2t+2,$$$$\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{AH}=\frac{3-2t}{3}$$である。したがって面積を$S$とすると$$S^2=\frac{1}{4}\{\frac{7}{9}(t^2-2t+2)-\frac{(3-2t{)}^2}{9}\}=\frac{3t^2-2t+5}{36}$$である。ここで$$3t^2-2t+5=3{(t-\frac{1}{3})}^2+\frac{14}{3}$$であるから，$0<t<1$において最小となるのは$$t=\frac{1}{3}$$のときである。このとき$$S=\frac{1}{6}\sqrt{\frac{14}{3}}=\frac{\sqrt{42}}{18}$$である。

正方形 $ABCD$ を $xy$ 平面に置き、残る2頂点を正方形の中心の真上・真下に置く。各点を座標で表した後、三角形の面積を外積の大きさで求めれば、内積表現とは独立に最小値を検算できる。

次のように座標をとる。$$A=(0,0,0),B=(1,0,0),D=(0,1,0),C=(1,1,0)\mathrm{.}$$正方形の中心から頂点までの距離は $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ である。正八面体の各辺が1となるため、$E,F$ を$$E=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}}),F=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{2}})$$とおける。

(1) $$\vec{b}=(1,0,0),\vec{d}=(0,1,0),\vec{e}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}})$$であるから$${\displaystyle \vec{b}\cdot \vec{d}=0,\vec{b}\cdot \vec{e}=\frac{1}{2},\vec{d}\cdot \vec{e}=\frac{1}{2}\mathrm{.}}$$(2)$$\overrightarrow{AF}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{2}})=\vec{b}+\vec{d}-\vec{e}$$より$${\displaystyle p=1,q=1,r=-1\mathrm{.}}$$(3)
図のように、$G$ は $BE$ を $1:2$ に、$H$ は $CF$ を $t:(1-t)$ に内分する。内分点の公式から$$\overrightarrow{AG}=\frac{2B+E}{3}=(\frac{5}{6},\frac{1}{6},\frac{1}{3\sqrt{2}}),$$$$\overrightarrow{AH}=(1-t)C+tF=(1-\frac{t}{2},1-\frac{t}{2},-\frac{t}{\sqrt{2}})\mathrm{.}$$外積を計算すると$$\overrightarrow{AG}\times \overrightarrow{AH}=(-\frac{1}{3\sqrt{2}},\frac{1+2t}{3\sqrt{2}},\frac{2-t}{3})\mathrm{.}$$したがって$${\mid \overrightarrow{AG}\times \overrightarrow{AH}\mid }^2=\frac{1}{18}+\frac{(1+2t{)}^2}{18}+\frac{(2-t{)}^2}{9}=\frac{3t^2-2t+5}{9}\mathrm{.}$$三角形の面積を $S$ とすれば$$S^2=\frac{1}{4}{\mid \overrightarrow{AG}\times \overrightarrow{AH}\mid }^2=\frac{3t^2-2t+5}{36}\mathrm{.}$$ここで$$3t^2-2t+5=3{(t-\frac{1}{3})}^2+\frac{14}{3}\mathrm{.}$$$0<t<1$ で $t=1\mathrm{/}3$ は許されるので$${\displaystyle t=\frac{1}{3},S_{\min }=\frac{\sqrt{42}}{18}\mathrm{.}}$$