北海道大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 理系理系数学 第1問

$(1)$ $$t=\sqrt{x}>0$$ とおくと $x=t^2$ であり、交点条件は$$t=e\log t$$となる。そこで$$\varphi (t)=t-e\log t$$とおくと$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)=1-{\displaystyle \frac{e}{t}}={\displaystyle \frac{t-e}{t}}\mathrm{.}$$したがって $\varphi$ は $0<t<e$ で減少し、$t>e$ で増加する。また$$\varphi (e)=e-e\log e=0.$$よって $\varphi (t)=0$ の解は $t=e$ だけである。したがって $x=e^2$、$y=e$ となり、共有点は $(e^2,e)$ だけである。

囲まれる領域は次のようになる。

$(2)$ 対数曲線が $x$ 軸と交わるのは $x=1$ である。(1)より求める面積は$$S={\int }_0^{e^2}\sqrt{x}dx-{\displaystyle \frac{e}{2}}{\int }_1^{e^2}\log xdx\mathrm{.}$$$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{e^2}\sqrt{x}dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{e}^3,}\\ {\displaystyle {\int }_1^{e^2}\log xdx}& {\displaystyle ={[x\log x-x]}_1^{e^2}=e^2+1,}\\ {\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{e}^3-{\displaystyle \frac{e}{2}}(e^2+1)={\displaystyle \frac{e^3-3e}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$

(1) は $u=\sqrt{x}\mathrm{/}e$ として、$\log u\leqq u-1$ の等号条件を用いる。(2)は曲線を $x=y^2$、$x=e^{2y\mathrm{/}e}$ と見て、横方向の幅を $y=0$ から $e$ まで積分する。

$(1)$ $$u=\sqrt{x}\mathrm{/}e>0$$ とおく。交点条件は$$u=1+\log u$$である。一方、関数 $h(u)=u-1-\log u$ は$$h^{\mathrm{\prime }}(u)=1-{\displaystyle \frac{1}{u}}$$より $u=1$ で最小値0をとる。すなわち$$\log u\leqq u-1$$で、等号は $u=1$ のときだけである。よって交点条件を満たすのは $u=1$ だけであり、共有点は $(e^2,e)$ だけである。

$(2)$ 2曲線を $x$ について解くと$$x=y^2,x=e^{2y\mathrm{/}e}\mathrm{.}$$$0\leqq y\leqq e$ では前者が左端、後者が右端になる。したがって横方向に積分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^e(e^{2y\mathrm{/}e}-y^2)dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{e}{2}}{e}^{2y\mathrm{/}e}-{\displaystyle \frac{1}{3}}{y}^3]}_0^e}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e}{2}}(e^2-1)-{\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^3-3e}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$