北海道大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
直線 $l,m$ の方向ベクトルを$$\mathit{u}=(1,-1,2),\mathit{v}=(3,1,1)$$とする。平面 $\alpha$ 内の方向ベクトルは$$\mathit{d}=a\mathit{u}+b\mathit{v}$$と表せる。$\mathit{d}$ が $l$ と直交する条件は$$\mathit{d}\cdot \mathit{u}=6a+4b=0$$である。$a=2,b=-3$ と取ると$$\mathit{d}=2\mathit{u}-3\mathit{v}=(-7,-5,1)$$だから、求める直線は$${\displaystyle \frac{x}{-7}}={\displaystyle \frac{y}{-5}}=z$$である。

(2) $$\mathit{d}=a\mathit{u}+b\mathit{v}$$ と $l$ のなす角が $\pi \mathrm{/}4$ である条件は$$(\mathit{d}\cdot \mathit{u}{)}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }\mathit{d}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2$$である。ここで$$\mathit{d}\cdot \mathit{u}=6a+4b,\mathrm{\mid }\mathit{d}{\mathrm{\mid }}^2=6a^2+8ab+11b^2$$なので$$(6a+4b{)}^2=3(6a^2+8ab+11b^2)\mathrm{.}$$$a=0$ では成り立たないから $r=b\mathrm{/}a$ と置くと$$17r^2-24r-18=0,r={\displaystyle \frac{12\pm 15\sqrt{2}}{17}}\mathrm{.}$$よって、例えば方向ベクトルを$$(53\pm 45\sqrt{2},-5\pm 15\sqrt{2},46\pm 15\sqrt{2})$$と取れる。したがって求める2直線は$${\displaystyle \frac{x}{53\pm 45\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{y}{-5\pm 15\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{z}{46\pm 15\sqrt{2}}}$$である。

$\mathit{p}$ は平面 $\alpha$ 内で $\mathit{u}$ と直交する

(1) で得た平面内の直交方向 $\mathit{p}$ を再利用する。$\mathit{u}$ と $\mathit{p}$ は直交するので、(2) の45度方向は、両方向の長さをそろえて足し引きすれば直ちに得られる。

(1) $$\mathit{u}=(1,-1,2),\mathit{v}=(3,1,1)$$に対し$$\mathit{p}=2\mathit{u}-3\mathit{v}=(-7,-5,1)$$と置くと$$\mathit{p}\cdot \mathit{u}=-7+5+2=0$$である。よって求める直線は$$(x,y,z)=s(-7,-5,1)(s\in \mathbb{R})$$である。

(2) $$\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid }=\sqrt{6},\mathrm{\mid }\mathit{p}\mathrm{\mid }=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$$であり、$\mathit{u}\perp \mathit{p}$ である。したがって$${\mathit{q}}_{\pm }=\mathit{u}\pm {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\mathit{p}\mathrm{\mid }}}\mathit{p}=\mathit{u}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{5}}\mathit{p}$$は、$\mathit{u}$ 方向の成分と $\mathit{p}$ 方向の成分の長さが等しい。ゆえに ${\mathit{q}}_{\pm }$ と $\mathit{u}$ のなす角は $\pi \mathrm{/}4$ である。

分母を払えば方向ベクトルは$$5\mathit{u}\pm \sqrt{2}\mathit{p}=(5\mp 7\sqrt{2},-5\mp 5\sqrt{2},10\pm \sqrt{2})$$となる。よって求める2直線は$${\displaystyle \frac{x}{5\mp 7\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{y}{-5\mp 5\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{z}{10\pm \sqrt{2}}}$$である。