北海道大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
球面 $S$ の中心は原点である。直線 $g$ は $${\displaystyle \frac{x-3}{2}}=y-3=z$$ であるから、共通の値を $\lambda$ とおくと、$g$ 上の点は $P(3+2\lambda ,3+\lambda ,\lambda )$ と表される。また $g$ の方向ベクトルは $\vec{v}=(2,1,1)$ である。

求める直線は原点と $P$ を結ぶ直線であるから、その方向ベクトルを $$\vec{p}=(3+2\lambda ,3+\lambda ,\lambda )$$ とする。交角が ${60}^{\circ }$ である条件は $$(\vec{p}\cdot \vec{v}{)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2$$ である。

ここで $$\vec{p}\cdot \vec{v}=9+6\lambda ,\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=6$$ であり、$$\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2=6{\lambda }^2+18\lambda +18$$ である。したがって $$(9+6\lambda {)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}(6{\lambda }^2+18\lambda +18)\cdot 6$$ となり、整理して $$(\lambda +1)(\lambda +2)=0$$ を得る。 $\lambda =-1$ のとき交点は $(1,2,-1)$、$\lambda =-2$ のとき交点は $(-1,1,-2)$ である。よって求める直線は $${\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{z}{-1}}$$ および $${\displaystyle \frac{x}{-1}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z}{-2}}$$ である。

(2)
直線 $g$ の方向ベクトルは $(2,1,1)$ である。$g$ に垂直な平面は、このベクトルを法線ベクトルにもつ。球の中心は原点であり、切り口の円の中心は、原点からその平面へ下ろした垂線の足である。したがって円の中心は $s(2,1,1)$ の形に表される。

球の半径は5である。切り口の面積が $7\pi$ なので、切り口の円の半径は $\sqrt{7}$ である。球の中心から平面までの距離を $d$ とすると、直角三角形から $d^2+(\sqrt{7}{)}^2=5^2$ である。したがって $$d^2=18,d=3\sqrt{2}$$ である。

一方、点 $s(2,1,1)$ の原点からの距離は $$\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }\sqrt{6}$$ である。これが $3\sqrt{2}$ に等しいから $$\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }\sqrt{6}=3\sqrt{2},\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }=\sqrt{3}$$ である。よって $s=\pm \sqrt{3}$ となり、円の中心は $(2\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3})$ または $(-2\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3})$ である。

(1) は直線への垂線の足を使って角条件を幾何的に解く。(2)は切り口の中心が球の中心から切断平面へ下ろした垂線の足であることと、半径5の直角三角形を用いる。

(1)
$g$ の方向ベクトルを $v=(2,1,1)$ とする。原点から $g$ への垂線の足は$$H=(0,{\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{2}})$$である。交点を $P=H+sv$ と置けば $H\perp v$ である。交角60度の条件$$\tan {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }H\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }}}$$から $\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }=1\mathrm{/}2$ となる。よって交点は $(1,2,-1)$、$(-1,1,-2)$ であり、求める直線は$${\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{z}{-1}},{\displaystyle \frac{x}{-1}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z}{-2}}\mathrm{.}$$(2)
切り口の半径は $\sqrt{7}$ である。球の中心から切断平面までの距離を $d$ とすると$$d^2+7=25$$より $d=3\sqrt{2}$ である。切り口の中心は原点から平面へ下ろした垂線の足であり、平面の法線は $v$ と平行である。単位ベクトルは $v\mathrm{/}\sqrt{6}$ だから、中心は$$\pm 3\sqrt{2}{\displaystyle \frac{(2,1,1)}{\sqrt{6}}}=\pm \sqrt{3}(2,1,1)\mathrm{.}$$したがって$$(2\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}),(-2\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3})$$である。