北海道大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
まず $$\overrightarrow{AC}=(1,0,1),\overrightarrow{BD}=(0,1,-1)$$ である。したがって $$P=A+t\overrightarrow{AC}=(1+t,2,2+t)$$ であり、$$Q=B+t\overrightarrow{BD}=(0,t,-1-t)$$ である。

線分 $PQ$ の中点を $M$ とすると $$M=({\displaystyle \frac{1+t}{2}},{\displaystyle \frac{2+t}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である。また平面 $\alpha$ は $PQ$ に垂直なので、法線ベクトルとして $P-Q=(1+t,2-t,3+2t)$ を取ることができる。

よって平面 $\alpha$ の方程式は$$(1+t)(x-{\displaystyle \frac{1+t}{2}})+(2-t)(y-{\displaystyle \frac{2+t}{2}})+(3+2t)(z-{\displaystyle \frac{1}{2}})=0$$である。定数項を右辺へ移すと$$(1+t)x+(2-t)y+(3+2t)z=(1+t){\displaystyle \frac{1+t}{2}}+(2-t){\displaystyle \frac{2+t}{2}}+(3+2t){\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。右辺は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\displaystyle \frac{(1+t{)}^2+(2-t)(2+t)+(3+2t)}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+2t+t^2+4-t^2+3+2t}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4+2t}\end{array}$$である。したがって $$(1+t)x+(2-t)y+(3+2t)z=4+2t$$ である。

(2)
(1)の方程式を $t$ について整理すると $x+2y+3z-4+t(x-y+2z-2)=0$ である。ここで $x+2y+3z-4=0$ かつ $x-y+2z-2=0$ を満たす点は、どの $t$ に対しても上の方程式を満たす。したがって、すべての平面 $\alpha$ は2平面 $$x+2y+3z=4,x-y+2z=2$$ の交わりを含む。

この交わりが直線であることを確認するため、$z=u$ とおく。すると $$y={\displaystyle \frac{2-u}{3}},x={\displaystyle \frac{8-7u}{3}}$$ と表せる。したがってこの交わりは1つの実数 $u$ で動く直線である。しかも方程式に $t$ が含まれないので、平面 $\alpha$ は $t$ によらない一定の直線を含む。

$PQ$ の垂直二等分面 ${\alpha }_t$ は、$t$ によらない直線 $\mathrm{\ell }$ を含む

(1) 平面 $\alpha$ を、点 $X$ から $P,Q$ までの距離が等しい点の集合として求める。距離の2乗の差なら二次項が消え、平面の式が直接得られる。(2) 得た式を $t$ の係数と定数項に分け、全ての $t$ で成り立つ2平面の交線をパラメータ表示する。

(1) $$P=(1+t,2,2+t),Q=(0,t,-1-t)$$である。点 $X=(x,y,z)$ が $PQ$ の垂直二等分面 $\alpha$ 上にあるための条件は$$X{P}^2=X{Q}^2$$である。ここで$$P-Q=(1+t,2-t,3+2t)$$であり、$$\mathrm{\mid }P{\mathrm{\mid }}^2=9+6t+2t^2,\mathrm{\mid }Q{\mathrm{\mid }}^2=1+2t+2t^2$$だから、距離の2乗を展開して共通の $x^2+y^2+z^2$ を消すとしたがって$$(1+t)x+(2-t)y+(3+2t)z=4+2t$$が平面 $\alpha$ の方程式である。

(2) この式は$$(x+2y+3z-4)+t(x-y+2z-2)=0$$と書ける。したがって$$x+2y+3z=4,x-y+2z=2$$を同時に満たす点は、どの $t$ に対しても $\alpha$ 上にある。

$z=u$ とおいて連立方程式を解くと$$x={\displaystyle \frac{8-7u}{3}},y={\displaystyle \frac{2-u}{3}},z=u\mathrm{.}$$よって一定の直線は$$(x,y,z)=({\displaystyle \frac{8}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},0)+u(-{\displaystyle \frac{7}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}},1)(u\in \mathbb{R})$$で表され、すべての平面 $\alpha$ がこの直線を含む。