北海道大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

三角形 $ABC$ は平面 $z=1$ 上にある。直線の共通の値を $\lambda$ とおけば$$x=2+a\lambda ,y=3+b\lambda ,z=2+\lambda$$である。$z=1$ では $\lambda =-1$ なので，平面との交点は$$(2-a,3-b,1)$$である。

$xy$ 平面上で三角形の頂点は$$A^{\mathrm{\prime }}(1,-1),B^{\mathrm{\prime }}(1,1),C^{\mathrm{\prime }}(0,0)$$となる。点 $(u,v)$ がこの三角形の周または内部にあるための必要十分条件は$$0\leqq u\leqq 1,-u\leqq v\leqq u$$である。

ここに $u=2-a,v=3-b$ を代入する。第1の条件から$$1\leqq a\leqq 2$$を得る。また$$-(2-a)\leqq 3-b\leqq 2-a$$を $b$ について解くと$$a+1\leqq b\leqq 5-a$$となる。

したがって求める条件は$$1\leqq a\leqq 2,a+1\leqq b\leqq 5-a$$である。図示すると，境界を含む，3点$$(1,2),(1,4),(2,3)$$を頂点とする三角形領域である。

平面 $z=1$ との交点を求めた後、三角形内の点を3頂点の係数和1の非負な結合で表す。係数から $(a,b)$ への対応は一次式なので、三角形 $ABC$ の3頂点が $(a,b)$ 平面のどの3点へ移るかを調べれば、領域全体が直ちに分かる。

直線の共通の値を $\lambda$ とおくと$$(x,y,z)=(2+a\lambda ,3+b\lambda ,2+\lambda )$$である。三角形 $ABC$ は平面 $z=1$ 上にあるから、共有点があるとすれば $\lambda =-1$ であり、その点を $Q$ とすると$$Q=(2-a,3-b,1)$$である。

点 $Q$ が三角形 $ABC$ の周または内部にあることは、ある $r,s,t\geqq 0$ が存在して$$r+s+t=1,Q=rA+sB+tC$$と書けることと同値である。座標を比較すると$$2-a=r+s,3-b=-r+s$$だから$$\begin{array}{cccc}& a=2-r-s,b=3+r-s\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$(1)は係数 $(r,s,t)$ に関する一次式である。したがって、$(a,b)$ の領域は三角形の3頂点に対応する点を頂点とする三角形になる。具体的には$$\begin{array}{ccc}Q& (r,s,t)& (a,b)\\ A& (1,0,0)& (1,4)\\ B& (0,1,0)& (1,2)\\ C& (0,0,1)& (2,3)\end{array}$$である。

よって求める範囲は、境界を含む3点 $(1,2),(1,4),(2,3)$ を頂点とする三角形である。不等式では$$1\leqq a\leqq 2,a+1\leqq b\leqq 5-a$$と表される。