北海道大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問／理系 第3問

平面 $\pi$ の法線ベクトルは$$\mathit{n}=(3,2,1)$$であり、${\mathrm{\ell }}_1$ は点 $A=(1,2,3)$ を通り、方向ベクトル$$\mathit{v}=(2,3,4)$$をもつ。

$(1)$ 求める平面の法線を $\mathit{N}=(p,q,r)$ とおく。この平面が ${\mathrm{\ell }}_1$ を含み、$\pi$ と直交する条件は$$\{\begin{array}{l}2p+3q+4r=0,\\ 3p+2q+r=0\end{array}$$である。これを満たす法線として$$\mathit{N}=(-1,2,-1)$$をとれる。点 $A$ を通ることから$$-(x-1)+2(y-2)-(z-3)=0.$$したがって求める平面は$$x-2y+z=0.$$位置関係を模式的に描くと次のようになる。

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$(2)$ ${\mathrm{\ell }}_1,{\mathrm{\ell }}_2$ 上の点をそれぞれ$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P}& {\displaystyle =(1+2u,2+3u,3+4u),}\\ {\displaystyle Q}& {\displaystyle =(2v,v-1,v)}\end{array}$$とおく。求める直線は $\pi$ と直交するから$$Q-P=\lambda (3,2,1)$$となる。成分を比較して$$\{\begin{array}{l}2v-1-2u=3\lambda ,\\ v-3-3u=2\lambda ,\\ v-3-4u=\lambda \end{array}$$を解くと$$u=-1,v=-2.$$したがって$$P=(-1,-1,-1),Q=(-4,-3,-2),$$かつ $Q-P=-(3,2,1)$ である。よって求める直線は$${\displaystyle \frac{x+1}{3}}={\displaystyle \frac{y+1}{2}}=z+1.$$

(1) では、求める平面が ${\mathrm{\ell }}_1$ の方向と $\pi$ の法線方向をともに含むことを利用し、媒介表示から方程式を得る。(2)ではその平面と ${\mathrm{\ell }}_2$ の交点を先に求め、そこから $\pi$ に垂直な直線を引く。

$(1)$ $\pi$ に直交する平面には、$\pi$ の法線方向 $(3,2,1)$ が含まれる。また、この平面は ${\mathrm{\ell }}_1$ の方向 $(2,3,4)$ も含む。したがって平面上の点は$$(x,y,z)=(1,2,3)+s(2,3,4)+t(3,2,1)$$と表せる。この表示から$$x-2y+z=(1-4+3)+s(2-6+4)+t(3-4+1)=0.$$よって求める平面は$$x-2y+z=0.$$$(2)$ ${\mathrm{\ell }}_2$ 上の点を$$R=(2v,v-1,v)$$とおき、(1)の平面へ代入すると$$2v-2(v-1)+v=0.$$したがって $v=-2$ で$$R=(-4,-3,-2)\mathrm{.}$$$R$ を通り $\pi$ と直交する直線は$$(x,y,z)=(-4,-3,-2)+t(3,2,1)$$である。$t=1$ のとき点 $(-1,-1,-1)$ となり、これは ${\mathrm{\ell }}_1$ で媒介変数を $-1$ とした点である。よってこの直線は確かに両直線と交わり、答えは$${\displaystyle \frac{x+1}{3}}={\displaystyle \frac{y+1}{2}}=z+1$$である。