北海道大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

1回の試行で2個とも偶数となる確率は$$p={\left({\displaystyle \frac{3}{6}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}},q=1-p={\displaystyle \frac{3}{4}}$$である。

(1)
$n$ 回目に初めて $A$ が起こる確率は$$q^{n-1}p={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{4}}$$である。これが $0.01$ 以下となる条件は$${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{n-1}\leqq 0.04$$である。常用対数を取ると$$(n-1)(0.477-2\cdot 0.301)\leqq 2\cdot 0.301-2,$$すなわち$$-0.125(n-1)\leqq -\mathrm{1.398.}$$したがって$$n-1\geqq 11.184$$であり、最小の自然数は$$\mathbf{n}=\mathbf{13}$$である。

(2)
4回中 $A$ が起こる回数を $R$ とすると$$S=R-(4-R)=2R-4.$$よって $S<0$ は $R=0,1$ と同値である。したがって$$\mathrm{Pr}(S<0)={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^4+4\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^3={\displaystyle \frac{\mathbf{189}}{\mathbf{256}}}\mathrm{.}$$

(1) は $n=12,13$ の境界値を対数計算で直接比較する。(2) は $S<0$ となる符号列を、全失敗と成功位置を1つ選ぶ場合に分けて数える。

(1) $${\log }_{10}\left\{{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{4}}\right\}=(n-1)(-0.125)-0.602$$である。$n=12$ のときは$$-11\cdot 0.125-0.602=-1.977>-2$$だから確率は $0.01$ より大きい。$n=13$ のときは$$-12\cdot 0.125-0.602=-2.102<-2$$だから確率は $0.01$ より小さい。また初回成功確率は $n$ とともに減少する。よって最小値は$$\mathbf{13}$$である。

(2)
$S<0$ となるのは、4個の $X_i$ のうち $1$ が0個または1個のときである。したがって$$\mathrm{Pr}(S<0)={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^4+4\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^3={\displaystyle \frac{81+108}{256}}={\displaystyle \frac{\mathbf{189}}{\mathbf{256}}}\mathrm{.}$$