北海道大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

直線 $g$ は $${\displaystyle \frac{x-3}{2}}=y-3=z$$ である。共通の値を $\lambda$ とおくと、$g$ 上の点は $(3+2\lambda ,3+\lambda ,\lambda )$ と表される。また $g$ の方向ベクトルは $\vec{v}=(2,1,1)$ である。

求める直線は原点を通り、$g$ 上の点 $P(3+2\lambda ,3+\lambda ,\lambda )$ で $g$ と交わる。したがってその方向ベクトルは $$\vec{p}=(3+2\lambda ,3+\lambda ,\lambda )$$ である。

2直線の交角が ${60}^{\circ }$ であるための条件は $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{p}\cdot \vec{v}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\vec{p}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。両辺を2乗して $$(\vec{p}\cdot \vec{v}{)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2$$ とする。ここで $$\vec{p}\cdot \vec{v}=2(3+2\lambda )+(3+\lambda )+\lambda =9+6\lambda$$ であり、$\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=6$ である。また$$\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2=(3+2\lambda {)}^2+(3+\lambda {)}^2+{\lambda }^2=6{\lambda }^2+18\lambda +18$$である。

したがって $$(9+6\lambda {)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}(6{\lambda }^2+18\lambda +18)\cdot 6$$ である。整理すると $$(\lambda +1)(\lambda +2)=0$$ を得る。よって $$\lambda =-1,\lambda =-2$$ である。 $\lambda =-1$ のとき、交点は $(1,2,-1)$ である。したがって対応する直線は $${\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{z}{-1}}$$ である。 $\lambda =-2$ のとき、交点は $(-1,1,-2)$ である。したがって対応する直線は $${\displaystyle \frac{x}{-1}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z}{-2}}$$ である。

直線 $g$ へ原点から下ろした垂線の足を基準にする。交点ベクトルを垂直成分と $g$ に平行な成分へ分け、角60度の直角三角形から平行成分の長さを決める。

直線 $g$ を$$P(\lambda )=(3,3,0)+\lambda (2,1,1)$$と表し、方向ベクトルを $v=(2,1,1)$ とする。原点から $g$ への垂線の足 $H$ は$$\{(3,3,0)+\lambda v\}\cdot v=0$$より $\lambda =-3\mathrm{/}2$ で、$$H=(0,{\displaystyle \frac{3}{2}},-{\displaystyle \frac{3}{2}}),\mathrm{\mid }H\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$交点を $P=H+sv$ と置く。$H\perp v$ なので、直線 $OP$ と $g$ の交角が60度である条件は$$\tan {60}^{\circ }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }H\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }}}\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }=\sqrt{6}$ を代入すると $\mathrm{\mid }s\mathrm{\mid }=1\mathrm{/}2$ である。したがって$$\lambda =-{\displaystyle \frac{3}{2}}\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}=-1,-2.$$対応する交点は $(1,2,-1)$、$(-1,1,-2)$ だから、求める2直線は$${\displaystyle \frac{x}{1}}={\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{z}{-1}},{\displaystyle \frac{x}{-1}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z}{-2}}\mathrm{.}$$