北海道大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

正方形内で放物線より下にある部分の面積を $A(k)$ とする。条件は$$A(k)={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。

$k>0$ の場合
上辺との交点は $x=0,2\mathrm{/}(3k)$、下辺との正の交点は $x=1\mathrm{/}k$ である。
$0<k\leqq 2\mathrm{/}3$ では $A(k)=1$ である。また $2\mathrm{/}3<k\leqq 1$ では$$A(k)={\displaystyle \frac{2}{3k}}+{\int }_{2\mathrm{/}(3k)}^1(1+2kx-3k^2{x}^2)dx\mathrm{.}$$この範囲では $A(k)$ は減少し、$$A(k)\geqq A(1)={\displaystyle \frac{23}{27}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$だから解はない。

$k>1$ では$$A(k)={\displaystyle \frac{2}{3k}}+{\int }_{2\mathrm{/}(3k)}^{1\mathrm{/}k}(1+2kx-3k^2{x}^2)dx={\displaystyle \frac{23}{27k}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{23}{27k}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$より$$k={\displaystyle \frac{46}{27}}\mathrm{.}$$$k<0$ の場合
$K=-k>0$ と置くと放物線は $y=1-2Kx-3K^2{x}^2$ で、下辺との交点は $x=1\mathrm{/}(3K)$ である。
$0<K\leqq 1\mathrm{/}3$ では$$A(k)={\int }_0^1(1-2Kx-3K^2{x}^2)dx=1-K-K^2\geqq {\displaystyle \frac{5}{9}}>{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$K>1\mathrm{/}3$ では$$A(k)={\int }_0^{1\mathrm{/}(3K)}(1-2Kx-3K^2{x}^2)dx={\displaystyle \frac{5}{27K}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{5}{27K}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$から $K=10\mathrm{/}27$、すなわち$$k=-{\displaystyle \frac{10}{27}}$$を得る。以上より$$\mathbf{k}={\displaystyle \frac{\mathbf{46}}{\mathbf{27}}},-{\displaystyle \frac{\mathbf{10}}{\mathbf{27}}}$$である。

単位正方形内では、曲線を上辺・下辺で切って面積を数える

$u=kx$ と置くと曲線は $y=1+2u-3u^2$ という1本の固定放物線になる。正方形内に入る高さの累積面積を先に求め、横方向の倍率 $1\mathrm{/}\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }$ を掛ける。

$$p(u)=1+2u-3u^2$$と置く。正方形内で曲線より下の縦の長さは、$p(u)$ を $0$ と $1$ の間に切った値である。

$k>0$ の場合$$p(u)\geqq 1(0\leqq u\leqq 2\mathrm{/}3),0\leqq p(u)\leqq 1(2\mathrm{/}3\leqq u\leqq 1)$$で、$u\geqq 1$ では $p(u)\leqq 0$ である。$k>1$ なら $u=kx$ より$$A(k)={\displaystyle \frac{1}{k}}\{{\int }_0^{2\mathrm{/}3}1du+{\int }_{2\mathrm{/}3}^{1}p(u)du\}={\displaystyle \frac{23}{27k}}\mathrm{.}$$これを $1\mathrm{/}2$ と置くと $k=46\mathrm{/}27>1$ を得る。$0<k\leqq 1$ では、上の切られた高さの平均は $A(1)=23\mathrm{/}27$ 以上なので解はない。

$k<0$ の場合
$K=-k$ と置く。負の側では$$0\leqq p(u)\leqq 1(-1\mathrm{/}3\leqq u\leqq 0),p(u)\leqq 0(u\leqq -1\mathrm{/}3)\mathrm{.}$$$K>1\mathrm{/}3$ なら$$A(k)={\displaystyle \frac{1}{K}}{\int }_{-1\mathrm{/}3}^{0}p(u)du={\displaystyle \frac{5}{27K}}\mathrm{.}$$これを $1\mathrm{/}2$ と置くと $K=10\mathrm{/}27>1\mathrm{/}3$、すなわち $k=-10\mathrm{/}27$ となる。$0<K\leqq 1\mathrm{/}3$ では高さの平均は $5\mathrm{/}9$ 以上なので解はない。

したがって$$\mathbf{k}={\displaystyle \frac{\mathbf{46}}{\mathbf{27}}},-{\displaystyle \frac{\mathbf{10}}{\mathbf{27}}}$$である。