北海道大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$(1)$ 積分の上端 $x$ と下端 $ax$ をそれぞれ微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-af(ax)\mathrm{.}$$$(2)$ $F(x)$ が $x$ によらないから$$f(x)=af(ax)$$である。ここで $x=1$ とすると、$f(1)=1$ より$$1=af(a)\mathrm{.}$$$a$ は $0<a\leqq 1$ の任意の実数だから$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}(0<x\leqq 1)\mathrm{.}$$この関数のグラフでは、乗法的に同じ比をもつ区間の面積が等しくなる。

実際$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(x)}& {\displaystyle ={\int }_{ax}^x{\displaystyle \frac{1}{t}}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\log t]}_{ax}^x=-\log a\mathrm{.}}\end{array}$$これは $x$ によらないので条件を満たし$$P(a)=-\log a\mathrm{.}$$

(1) は積分区間の微小変化を上端と下端に分けて同じ導関数を得る。(2)は $x=1$ で表した $P(a)$ と一般の $x$ での積分を等置し、両辺を $a$ で微分して $f$ を直接決める。

$(1)$ $x$ を $x+h$ へ動かすと、上端側では長さ $h$ の部分が増え、下端側では長さ $ah$ の部分が減る。$h\to 0$ とすれば$$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-af(ax)\mathrm{.}$$$(2)$ $F(x)$ の定数値を $x=1$ で評価すると$$P(a)={\int }_a^{1}f(t)dt\mathrm{.}$$一方、任意の $x$ でも同じ値だから$${\int }_{ax}^{x}f(t)dt={\int }_a^{1}f(t)dt\mathrm{.}$$$x$ を固定して両辺を $a$ で微分すると$$-xf(ax)=-f(a),$$すなわち$$xf(ax)=f(a)\mathrm{.}$$$a=1$ とおけば $f(1)=1$ より$$xf(x)=1.$$したがって$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{.}$$さらに$$P(a)={\int }_a^1{\displaystyle \frac{1}{t}}dt=-\log a\mathrm{.}$$この式は $a=1$ のときも $P(1)=0$ となり、零区間の積分と一致する。