北海道大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$$u={\log }_{2}t$$と置く。$t>1$ だから $u>0$ であり、$${\log }_{t}4={\displaystyle \frac{{\log }_{2}4}{{\log }_{2}t}}={\displaystyle \frac{2}{u}}$$である。

(1) $$f(t)=u+{\displaystyle \frac{2}{u}}\mathrm{.}$$相加平均・相乗平均より$$u+{\displaystyle \frac{2}{u}}\geqq 2\sqrt{2}$$であり、等号は $u=\sqrt{2}$、すなわち $t=2^{\sqrt{2}}$ のときに成り立つ。したがって最小値は$$\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}$$である。

(2)
与えられた不等式は $u>0$ より$$k<u-1+{\displaystyle \frac{2}{u}}$$と同値である。右辺の最小値は (1) より$$2\sqrt{2}-1$$である。すべての $u>0$ で厳密な不等式が成り立つためには、最小点 $u=\sqrt{2}$ でも等号になってはならない。よって$$\mathbf{k}<\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}-\mathbf{1}$$である。

(1) は微分で最小点を決める。(2) は $u^2-(k+1)u+2>0$ が全ての $u>0$ で成り立つ条件を、放物線の頂点と判別式から調べる。

(1) $$\varphi (u)=u+{\displaystyle \frac{2}{u}}(u>0)$$と置くと$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)=1-{\displaystyle \frac{2}{u^2}}\mathrm{.}$$したがって $\varphi$ は $0<u<\sqrt{2}$ で減少し、$u>\sqrt{2}$ で増加する。よって$$\min \varphi (u)=\varphi (\sqrt{2})=\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}\mathrm{.}$$(2)
元の不等式は$$u^2-(k+1)u+2>0(u>0)$$である。$k+1\leqq 0$ なら左辺は $u^2+\mathrm{\mid }k+1\mathrm{\mid }u+2>0$ である。

$k+1>0$ のとき、頂点 $u=(k+1)\mathrm{/}2$ は正の範囲にあるので、最小値が正である条件は$$2-{\displaystyle \frac{(k+1{)}^2}{4}}>0.$$これより$$k+1<2\sqrt{2}\mathrm{.}$$前の場合も合わせると$$\mathbf{k}<\mathbf{2}\sqrt{\mathbf{2}}-\mathbf{1}$$となる。境界値では頂点で左辺が $0$ になるため含まれない。