北海道大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
曲線は $y=x^2-t^2$ であり、$x$ は $0\leqq x\leqq 1$ の範囲で考えればよい。$x$ 軸との上下を問わず全面積を求めるので$$S(t)={\int }_0^1\mid x^2-t^2\mid dx$$である。

まず $0\leqq t\leqq 1$ のとき、$x=t$ で符号が変わる。$0\leqq x\leqq t$ では $x^2-t^2\leqq 0$、$t\leqq x\leqq 1$ では $x^2-t^2\geqq 0$ であるから$$S(t)={\int }_0^t(t^2-x^2)dx+{\int }_t^1(x^2-t^2)dx$$である。第1項は$${\int }_0^t(t^2-x^2)dx={[t^{2}x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^t={\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^3$$であり、第2項は$${\int }_t^1(x^2-t^2)dx={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-t^{2}x]}_t^1={\displaystyle \frac{1}{3}}-t^2+{\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^3$$である。よって $$S(t)={\displaystyle \frac{1}{3}}-t^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}{t}^3(0\leqq t\leqq 1)$$ となる。

次に $t\geqq 1$ のときは、$0\leqq x\leqq 1$ で常に $x^2-t^2\leqq 0$ である。したがって$$S(t)={\int }_0^1(t^2-x^2)dx=t^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}(t\geqq 1)$$である。

以上より$$S(t)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{3}}-t^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}{t}^3& (0\leqq t\leqq 1),\\ t^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}& (t\geqq 1)\end{array}$$である。

(2) $0\leqq t\leqq 1$ では $S^{\mathrm{\prime }}(t)=-2t+4t^2=2t(2t-1)$ である。したがって、この区間での候補は $$t=0,{\displaystyle \frac{1}{2}},1$$ である。それぞれ$$S(0)={\displaystyle \frac{1}{3}},S\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{4}},S(1)={\displaystyle \frac{2}{3}}$$であるから、$0\leqq t\leqq 1$ での最小値は $1\mathrm{/}4$ である。

また $t\geqq 1$ では $$S(t)=t^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}$$ であり、$t\geqq 1$ で増加する。したがってこの範囲での最小値は $$S(1)={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。

両者を比較して、全体の最小値は ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。この最小値は $t=1\mathrm{/}2$ のときにとる。

曲線の符号付き面積に、$x$ 軸より下の面積を2倍して全面積を作る。最小値は微分せず、$S(t)-1\mathrm{/}4$ を因数分解して示す。

(1)
$0\leqq t\leqq 1$ とする。符号付き面積は$${\int }_0^1(x^2-t^2)dx={\displaystyle \frac{1}{3}}-t^2$$である。一方、$0\leqq x\leqq t$ で曲線は $x$ 軸より下にあり、その面積は$${\int }_0^t(t^2-x^2)dx={\displaystyle \frac{2}{3}}{t}^3\mathrm{.}$$全面積ではこの負の部分の符号を反転するため、これを2倍して加える。したがって$$S(t)={\displaystyle \frac{1}{3}}-t^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}{t}^3(0\leqq t\leqq 1)\mathrm{.}$$$t\geqq 1$ では曲線全体が $x$ 軸以下だから$$S(t)={\int }_0^1(t^2-x^2)dx=t^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$(2)
$0\leqq t\leqq 1$ では$$S(t)-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{(2t-1{)}^2(4t+1)}{12}}\geqq 0.$$等号は $t=1\mathrm{/}2$ のときに成り立つ。$t\geqq 1$ では$$S(t)=t^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}\geqq {\displaystyle \frac{2}{3}}>{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$よって全体の最小値は$${\displaystyle \frac{1}{4}}$$であり、$t=1\mathrm{/}2$ のときにとる。