北海道大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $f$ は連続なので、積分上端を含む関数として微分できる。まず定義式を表示すると$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\sin (x-t)dt$$である。微分すると、上端から出る項は $f(x)\sin 0=0$ なので $$F^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^{x}f(t)\cos (x-t)dt$$ となる。

さらにもう一度微分すると、今度は上端から $f(x)\cos 0=f(x)$ が出る。したがって$$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-{\int }_0^{x}f(t)\sin (x-t)dt=f(x)-F(x)$$である。よって $F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+F(x)=f(x)$ が成り立つ。

(2) $h(x)=x{e}^{-x}$ とおく。条件は $F(x)=f(x)-h(x)$ である。(1)の関係式に代入すると $(f-h{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+(f-h)=f$ である。整理して $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+h$ を得る。

ここで $$h^{\mathrm{\prime }}(x)=(1-x)e^{-x},h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(x-2)e^{-x}$$ であるから $$h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+h(x)=(x-2)e^{-x}+x{e}^{-x}=2(x-1)e^{-x}$$ となる。したがって $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2(x-1)e^{-x}$ である。

次に積分定数を決める。定義と (1) の途中で得た式から $F(0)=0$、$F^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。条件 $F=f-h$ を用いると、$h(0)=0$、$h^{\mathrm{\prime }}(0)=1$ だから $f(0)=0,f^{\mathrm{\prime }}(0)-1=0$ すなわち $f(0)=0,f^{\mathrm{\prime }}(0)=1$ である。 $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2(x-1)e^{-x}$ を積分すると $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x{e}^{-x}+C$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1$ より $C=1$ なので $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-2x{e}^{-x}$ である。さらに積分して $f(x)=x+2(x+1)e^{-x}+D$ となる。$f(0)=0$ より $2+D=0$、すなわち $D=-2$ である。

よって求める関数は $f(x)=x+2(x+1)e^{-x}-2$ である。

(1) で得る関係から $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=2(x-1)e^{-x}$ と初期条件を取り出す。右辺の形に合わせて $f=x+C+(Ax+B)e^{-x}$ と置き、係数比較で定数を決める。微分方程式を満たすだけでは元の積分条件を満たすとは限らないので、候補から作る $G=f-x{e}^{-x}$ と積分で定義された $F$ が同じ方程式・同じ初期値をもつことを示して逆確認する。

(1)
定義式は$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)\sin (x-t)dt$$である。上端から生じる項に注意して順に微分すると$$F^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^{x}f(t)\cos (x-t)dt,$$$$F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-{\int }_0^{x}f(t)\sin (x-t)dt=f(x)-F(x)\mathrm{.}$$よって $F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+F(x)=f(x)$ である。

(2)
$h(x)=x{e}^{-x}$ とおく。$F=f-h$ と (1) から$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+h(x)=2(x-1)e^{-x}$$を得る。また定義より $F(0)=F^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ なので$$f(0)=0,f^{\mathrm{\prime }}(0)=1.$$右辺の形に合わせて$$f(x)=x+C+(Ax+B)e^{-x}$$と置く。このとき$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\{Ax+B-2A\}{e}^{-x}\mathrm{.}$$係数比較により $A=2,B=2$ であり、$f(0)=0$ から $C=-2$ となる。したがって候補は$$f(x)=x+2(x+1)e^{-x}-2.$$最後に元の積分条件を確かめる。この候補に対して $G=f-x{e}^{-x}$ とおくと$$G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+G=f,G(0)=G^{\mathrm{\prime }}(0)=0$$である。一方、積分で定義された $F$ も (1) により同じ方程式と初期値を満たす。差 $D=F-G$ は$$D^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+D=0,D(0)=D^{\mathrm{\prime }}(0)=0$$を満たすので $D=0$ である。よって $F=G=f-x{e}^{-x}$ が確かに成り立つ。