北海道大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

2曲線の差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C_1-C_2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a-6}{a^2}}{x}^2+{\displaystyle \frac{6-a}{a}}x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6-a}{a^2}}x(a-x)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって交点の $x$ 座標は $0,a$ である。$1\leqq a\leqq 4$ では $6-a>0$ だから、$0<x<a$ で $C_1$ が上側にある。

$a=3$ の場合を例にすると、囲まれる領域は次のようになる。

面積を $S(a)$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_0^a{\displaystyle \frac{6-a}{a^2}}x(a-x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6-a}{a^2}}{[{\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3]}_0^a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a(6-a)}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$平方完成すると$$S(a)=-{\displaystyle \frac{1}{6}}(a-3{)}^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$よって最大値は $a=3$ のとき$${\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$また$$S(1)={\displaystyle \frac{5}{6}},S(4)={\displaystyle \frac{4}{3}}$$だから、最小値は $a=1$ のとき$${\displaystyle \frac{5}{6}}$$である。

縦方向の隙間が $kx(a-x)$ という放物線になることに注目する。この放物線下の面積を底辺 $a$ と最大の隙間から求め、最後は積の形 $a(6-a)$ を平方完成して評価する。

2曲線の縦方向の隙間は$$D(x)={\displaystyle \frac{6-a}{a^2}}x(a-x)$$であり、$x=0,a$ で0となる。最大の隙間は $x=a\mathrm{/}2$ で$$D\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)={\displaystyle \frac{6-a}{4}}\mathrm{.}$$一般に、区間 $0\leqq x\leqq a$ で $hx(a-x)$ のグラフ下の面積は、底辺と高さを使って$${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot a\cdot {\displaystyle \frac{h{a}^2}{4}}$$である。実際、$x=au$ とおけば$${\int }_0^{a}hx(a-x)dx=h{a}^3{\int }_0^{1}u(1-u)du={\displaystyle \frac{h{a}^3}{6}},$$となり、上の式と一致する。

したがって今回の面積は$$S(a)={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot a\cdot {\displaystyle \frac{6-a}{4}}={\displaystyle \frac{a(6-a)}{6}}\mathrm{.}$$ここで$$a(6-a)=9-(a-3{)}^2$$だから、$1\leqq a\leqq 4$ で最大は $a=3$ のときである。また $3$ から最も遠い端点は $a=1$ なので最小は $a=1$ のときである。よって$$\begin{array}{ccc}& a& S(a)\\ \text{最大}& 3& {\displaystyle \frac{3}{2}}\\ \text{最小}& 1& {\displaystyle \frac{5}{6}}\end{array}$$