北海道大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

1回で $A$ が起こる確率は$$p={\displaystyle \frac{1}{4}},1-p={\displaystyle \frac{3}{4}}$$である。

(1) $$\mathrm{Pr}(n\text{ 回目に初めて }A)={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$これが $0.01$ 以下となる条件に常用対数を取ると$$-0.125(n-1)-0.602\leqq -2.$$よって$$n-1\geqq 11.184$$であり、最小の $n$ は$$\mathbf{13}$$である。

(2)
$X_i$ は $A$ が起きたとき $1$、それ以外で $0$ だから$$E(X_i)=1\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+0\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$期待値の加法性より$$E(S)=\sum _{i=1}^{4}E(X_i)=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}=\mathbf{1.}$$

(1) は境界の $n=12,13$ を直接比較する。(2) は $S$ が二項分布に従うことから、その分布を用いて期待値を総和計算する。

(1)
初回成功確率の常用対数は$$L_n=-0.125(n-1)-0.602$$である。$$L_{12}=-1.977>-2,L_{13}=-2.102<-2.$$確率は $n$ とともに減少するから、求める最小の $n$ は$$\mathbf{13}$$である。

(2)
$S$ は4回中の成功回数なので$$\mathrm{Pr}(S=r)={\displaystyle \frac{4!}{r!(4-r)!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^r{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{4-r}\mathrm{.}$$したがって$$E(S)=\sum _{r=0}^{4}r{\displaystyle \frac{4!}{r!(4-r)!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^r{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{4-r}\mathrm{.}$$階乗を整理すると$$E(S)=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\sum _{r=1}^4{\displaystyle \frac{3!}{(r-1)!(4-r)!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{r-1}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{4-r}=1{({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{4}})}^3=\mathbf{1.}$$