北海道大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

第 $k$ 番目の袋には赤い球が $k$ 個、白い球が $n-k$ 個入っている。合計は $n$ 個なので、この袋が選ばれたとき、1回の取り出しで赤が出る確率は ${\displaystyle \frac{k}{n}}$ であり、白が出る確率は $1-{\displaystyle \frac{k}{n}}$ である。

選ばれた袋で、取り出した球を毎回もとに戻して6回くり返すから、袋を固定すれば各回の確率は同じである。したがって、第 $k$ 番目の袋が選ばれたという条件のもとで赤がちょうど3回出る確率は$${}_6{\mathrm{C}}_3{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^3{(1-{\displaystyle \frac{k}{n}})}^3$$である。

袋は $n$ 個から等確率に選ばれるので、全体の確率 $P_n$ はこれらの平均である。よって$$P_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{}_6{\mathrm{C}}_3{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^3{(1-{\displaystyle \frac{k}{n}})}^3$$である。ここで ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ だから$$P_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^{n}20{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^3{(1-{\displaystyle \frac{k}{n}})}^3$$となる。

関数 $20x^3(1-x{)}^3$ は $0\leqq x\leqq 1$ で連続であるから、区分求積法により$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n=20{\int }_0^1{x}^3(1-x{)}^{3}dx$$である。積分を計算する。 $$x^3(1-x{)}^3=x^3-3x^4+3x^5-x^6$$ なので$${\int }_0^1{x}^3(1-x{)}^{3}dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{3x^5}{5}}+{\displaystyle \frac{x^6}{2}}-{\displaystyle \frac{x^7}{7}}]}_0^1$$である。したがって$${\int }_0^1{x}^3(1-x{)}^{3}dx={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{7}}$$であり、分母を $140$ にそろえると $${\displaystyle \frac{35-84+70-20}{140}}={\displaystyle \frac{1}{140}}$$ となる。ゆえに $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n=20\cdot {\displaystyle \frac{1}{140}}={\displaystyle \frac{1}{7}}$$ である。

袋を固定した条件付き確率を平均するところまでは同じである。その後は積分を用いず、多項式展開とべき和の極限で直接計算する。

第 $k$ 番目の袋を選んだとき、赤がちょうど3回出る確率は$$20{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^3{(1-{\displaystyle \frac{k}{n}})}^3\mathrm{.}$$したがって$$P_n={\displaystyle \frac{20}{n}}\sum _{k=1}^n\{{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^3-3{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^4+3{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^5-{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^6\}\mathrm{.}$$正の整数 $r$ に対するべき和の極限$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^r={\displaystyle \frac{1}{r+1}}$$を各項に用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n}& {\displaystyle =20({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{7}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{7}}\mathrm{.}}\end{array}$$