北海道大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

1人を選ぶときの分岐は次の通りである。

$(1)$ 16人全員がA型以外である確率は$${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{16}\mathrm{.}$$その常用対数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\log }_{10}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{16}}& {\displaystyle =16({\log }_{10}3-2{\log }_{10}2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16(0.477-0.602)=-\mathrm{2.000.}}\end{array}$$したがって$${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{16}\doteq {10}^{-2}=\mathrm{0.01.}$$$(2)$ A型となる2人の選び方は$${}_{18}{\mathrm{C}}_2=153$$通りである。よって求める確率は$${}_{18}{\mathrm{C}}_2{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{16}={\displaystyle \frac{153\cdot 3^{16}}{4^{18}}}\mathrm{.}$$

18人の各人について、A型以外を選ぶ項を $3\mathrm{/}4$、A型を数える項を $z\mathrm{/}4$ と置く。積 $\{(3+z)\mathrm{/}4{\}}^{18}$ の $z^2$ の係数から、ちょうど2人がA型となる確率を読み取る。

$(1)$ 16人についてA型以外だけを選ぶ場合は、各人から確率 $3\mathrm{/}4$ を選ぶので$${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{16}$$である。常用対数をとると$$16(0.477-2\cdot 0.301)=-2$$だから、確率は約 $0.01$ である。

$(2)$ 18人について$${\left({\displaystyle \frac{3+z}{4}}\right)}^{18}$$を考える。各因子で $3\mathrm{/}4$ を選べばA型以外、$z\mathrm{/}4$ を選べばA型を1人数えることになる。したがって、A型がちょうど2人である確率は $z^2$ の係数である。

二項定理より、その係数は$${\displaystyle \frac{1}{4^{18}}}{}_{18}{\mathrm{C}}_2,3^{16}={\displaystyle \frac{153\cdot 3^{16}}{4^{18}}}\mathrm{.}$$これは解法1と一致する。なお、(1)の近似値を使えば$${\displaystyle \frac{153}{16}}{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{16}\doteq 0.0956$$とも見積もれる。