北海道大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
積分を微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^x{\cos }^{3}tdt\mathrm{.}$$ここで$$\int {\cos }^{3}tdt=\sin t-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\sin }^{3}t$$だから$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sin x(1-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\sin }^{2}x)\mathrm{.}$$括弧内は常に正である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $\sin x$ の符号と一致し、$$\begin{array}{cccccccc}x& -\pi \mathrm{/}2& & 0& & \pi & & 3\pi \mathrm{/}2\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& & -& 0& +& 0& -\end{array}$$となる。よって極小を与えるのは $x=0$、極大を与えるのは $x=\pi$ である。

(2) $$f(0)=0.$$また $G(t)=\sin t-{\sin }^{3}t\mathrm{/}3$ と置けば $G^{\mathrm{\prime }}(t)={\cos }^{3}t$ なので、部分積分により$$f(\pi )={\int }_0^{\pi }(\pi -t)G^{\mathrm{\prime }}(t)dt={\int }_0^{\pi }G(t)dt\mathrm{.}$$したがって$$f(\pi )={\int }_0^{\pi }\sin tdt-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}tdt=2-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{3}}={\displaystyle \frac{14}{9}}\mathrm{.}$$ゆえに$$\text{極小値 }\mathbf{0},\text{極大値 }{\displaystyle \frac{\mathbf{14}}{\mathbf{9}}}$$である。

先に積分を2回実行して $f(x)$ の明示式を作る。その式を微分して増減を調べ、$x=0,\pi$ を直接代入する。

まず$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^x{\cos }^{3}tdt=\sin x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\sin }^{3}x\mathrm{.}$$$f(0)=0$ なので、さらに積分すると$$f(x)={\int }_0^x(\sin s-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\sin }^{3}s)ds\mathrm{.}$$計算して$$f(x)={\displaystyle \frac{7}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cos x-{\displaystyle \frac{1}{9}}{\cos }^{3}x$$を得る。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sin x(1-{\displaystyle \frac{1}{3}}{\sin }^{2}x)$$であり、第2因子は正である。与えられた範囲で $\sin x$ の符号を調べると、$x=0$ で負から正、$x=\pi$ で正から負に変わる。よって$$\mathbf{x}=\mathbf{0}\text{ で極小},\mathbf{x}=\mathbf{\pi }\text{ で極大}$$である。

(2)
明示式へ代入すると$$f(0)={\displaystyle \frac{7}{9}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{9}}=0,$$$$f(\pi )={\displaystyle \frac{7}{9}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{14}{9}}\mathrm{.}$$したがって$$\text{極小値 }\mathbf{0},\text{極大値 }{\displaystyle \frac{\mathbf{14}}{\mathbf{9}}}$$である。