北海道大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

まず $$b={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }a+1\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }}{2}}$$ を範囲ごとに求める。 $a<-1$ のとき、$$\mathrm{\mid }a+1\mathrm{\mid }=-(a+1),\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }=-(a-1)=1-a$$ であるから $$b={\displaystyle \frac{-a-1-(1-a)}{2}}=-1$$ である。 $-1\leqq a<1$ のとき、$$\mathrm{\mid }a+1\mathrm{\mid }=a+1,\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }=1-a$$ なので $$b={\displaystyle \frac{a+1-(1-a)}{2}}=a$$ である。 $a\geqq 1$ のとき、$$\mathrm{\mid }a+1\mathrm{\mid }=a+1,\mathrm{\mid }a-1\mathrm{\mid }=a-1$$ なので $$b={\displaystyle \frac{a+1-(a-1)}{2}}=1$$ である。したがって$$b=\{\begin{array}{ll}-1& (a<-1),\\ a& (-1\leqq a<1),\\ 1& (a\geqq 1)\end{array}$$である。

次に $c_n$ の極限を調べる。$a\geqq 1$ のときは $b=1$ であるから $$c_n={\displaystyle \frac{1+1+\cdots +1}{n}}=1$$ であり、極限値は1である。 $a<1$ のときは $-1\leqq b<1$ である。まず $-1<b<1$ なら、等比数列の和より $$1+b+b^2+\cdots +b^{n-1}={\displaystyle \frac{1-b^n}{1-b}}$$ である。この和は $n$ が大きくなっても一定の範囲におさまるので、${\displaystyle \frac{1+b+b^2+\cdots +b^{n-1}}{n}}\to 0$ となる。

残る $b=-1$ の場合、和 $1+(-1)+(-1{)}^2+\cdots +(-1{)}^{n-1}$ は0または1である。したがってこの場合も $n$ で割れば0に近づく。

以上より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=\{\begin{array}{ll}0& (a<1),\\ 1& (a\geqq 1)\end{array}$$である。

$b$ は $a$ を区間 $[-1,1]$ に切り詰めた値になる

まず絶対値を外し、$b=-1$、$-1<b<1$、$b=1$ の3場合へ整理する。$-1<b<1$ では $b^k\to 0$ である。$c_n$ を数列 $1,b,b^2,\dots$ の最初の $n$ 項の平均と見て、初めの有限個と十分後ろの項に分け、平均も0へ近づくことを直接示す。

絶対値を外すと$$b=\{\begin{array}{ll}-1& (a<-1),\\ a& (-1\leqq a<1),\\ 1& (a\geqq 1)\end{array}$$である。

まず $a\geqq 1$ なら $b=1$ だから$$c_n={\displaystyle \frac{1+1+\cdots +1}{n}}=1.$$したがって極限値は1である。

次に $-1<a<1$ とする。このとき $\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }<1$ なので $b^k\to 0$ である。任意の正数 $\epsilon$ に対し、ある $N$ を取れば $k\geqq N$ で $\mathrm{\mid }{b}^k\mathrm{\mid }<\epsilon \mathrm{/}2$ となる。$n>N$ のとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{c}_n\mathrm{\mid }}& {\displaystyle \leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=0}^{N-1}\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^k+{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=N}^{n-1}\mathrm{\mid }b{\mathrm{\mid }}^k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq {\displaystyle \frac{N}{n}}+{\displaystyle \frac{n-N}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{\epsilon }{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$十分大きな $n$ では $N\mathrm{/}n<\epsilon \mathrm{/}2$ だから $\mathrm{\mid }{c}_n\mathrm{\mid }<\epsilon$ となる。よって $c_n\to 0$ である。

残る $a\leqq -1$ では $b=-1$ であり、分子は $n$ の偶奇に応じて0または1だから、やはり $c_n\to 0$ である。

以上より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_n=\{\begin{array}{ll}0& (a<1),\\ 1& (a\geqq 1)\end{array}$$である。