北海道大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
平面 $\pi$ の法線ベクトルを$$\vec{n}=(3,4,5\sqrt{2})$$とすると$$\mathrm{\mid }\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2=75.$$$P$ を平面の左辺へ代入した値は$$3\cdot 6+4\cdot 3+5\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}-15=75.$$したがって $P$ から法線方向へ $\vec{n}$ だけ戻れば平面に着く。よって$$H=P-\vec{n}=(3,-1,\sqrt{2}),PH=\mathrm{\mid }\vec{n}\mathrm{\mid }=5\sqrt{3}\mathrm{.}$$(2)
球の中心 $O$ から平面までの距離は$${\displaystyle \frac{15}{5\sqrt{3}}}=\sqrt{3}\mathrm{.}$$球の半径は2だから、交円 $C$ の半径は$$\sqrt{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}=1.$$交円の中心 $K$ は $O$ から平面への垂線の足であり、$$K={\displaystyle \frac{1}{5}}\vec{n}=({\displaystyle \frac{3}{5}},{\displaystyle \frac{4}{5}},\sqrt{2})\mathrm{.}$$$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H{K}^2}& {\displaystyle ={(3-{\displaystyle \frac{3}{5}})}^2+{(-1-{\displaystyle \frac{4}{5}})}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9,}\end{array}$$よって $HK=3$ である。平面内で $H$ から半径1の円 $C$ までの最短距離は$$3-1=2.$$$PH\perp \pi$ なので、最短点を $Q$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}_{\min }}& {\displaystyle =\sqrt{P{H}^2+H{Q}^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{75+4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sqrt{79}\mathrm{.}}\end{array}$$

(1) は $H=P-\lambda \vec{n}$ と置いて $\lambda$ を決める。(2) は交円上の点を $Q=K+\vec{u}$ と表し、$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=1,\vec{u}\perp \vec{n}$ のもとで $P\cdot Q$ を最大化する。

(1) $$H=P-\lambda \vec{n}$$とおく。$H$ を平面の式へ代入すると$$75-75\lambda =0$$だから $\lambda =1$ である。したがって$$H=(3,-1,\sqrt{2}),PH=5\sqrt{3}\mathrm{.}$$(2)
交円の中心と半径は$$K={\displaystyle \frac{1}{5}}\vec{n},r=1$$である。したがって $Q\in C$ は$$Q=K+\vec{u},\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=1,\vec{u}\cdot \vec{n}=0$$と表せる。

$P$ のうち平面 $\vec{n}$ に垂直な方向の成分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \vec{v}}& {\displaystyle =P-{\displaystyle \frac{P\cdot \vec{n}}{\mathrm{\mid }\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2}}\vec{n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =P-{\displaystyle \frac{90}{75}}\vec{n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{12}{5}},-{\displaystyle \frac{9}{5}},0),}\end{array}$$その長さは $3$ である。$\vec{u}\perp \vec{n}$ なので$$P\cdot \vec{u}=\vec{v}\cdot \vec{u}\leqq \mathrm{\mid }\vec{v}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=3$$であり、等号は $\vec{u}=\vec{v}\mathrm{/}3$ で実現する。

また$$\mathrm{\mid }P{\mathrm{\mid }}^2=117,\mathrm{\mid }Q{\mathrm{\mid }}^2=4,P\cdot K=18.$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =\mathrm{\mid }P{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }Q{\mathrm{\mid }}^2-2P\cdot Q}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =121-2(P\cdot K+P\cdot \vec{u})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq 121-2(18+3)=79.}\end{array}$$等号が実現するので$$P{Q}_{\min }=\sqrt{79}\mathrm{.}$$