北海道大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$g(t)={\displaystyle \frac{e^{2t}-1}{e^{2t}+1}},g(a)={\displaystyle \frac{e^{2a}-1}{e^{2a}+1}}$$ である。したがって $$f(g(t))={\displaystyle \frac{g(a)+g(t)}{1+g(a)g(t)}}$$ である。

分子を通分すると$$g(a)+g(t)={\displaystyle \frac{(e^{2a}-1)(e^{2t}+1)+(e^{2t}-1)(e^{2a}+1)}{(e^{2a}+1)(e^{2t}+1)}}$$であり、分子のさらに上側は $$2e^{2a}{e}^{2t}-2=2(e^{2(a+t)}-1)$$ である。

一方、分母側は$$1+g(a)g(t)={\displaystyle \frac{(e^{2a}+1)(e^{2t}+1)+(e^{2a}-1)(e^{2t}-1)}{(e^{2a}+1)(e^{2t}+1)}}$$であり、分子のさらに上側は $$2e^{2a}{e}^{2t}+2=2(e^{2(a+t)}+1)$$ である。よって $$f(g(t))={\displaystyle \frac{e^{2(a+t)}-1}{e^{2(a+t)}+1}}=g(t+a)$$ である。

(2) $x_1=g(a)$ である。$(1)$ より、もし $x_n=g(na)$ なら $$x_{n+1}=f(x_n)=f(g(na))=g((n+1)a)$$ である。したがって数学的帰納法により $x_n=g(na)$ がすべての正の整数 $n$ で成り立つ。 $a>0$ であるから、$n\to \mathrm{\infty }$ のとき $e^{2na}\to \mathrm{\infty }$ である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{e^{2na}-1}{e^{2na}+1}}=1$$である。

$h(x)=(1+x)\mathrm{/}(1-x)$ と置くと、$h(g(t))=e^{2t}$、$h(f(x))=e^{2a}h(x)$ となる。加法関係と数列の極限を一つの等比関係から導く。

(1) $$h(x)={\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}$$と置く。定義から直接整理すると$$h(g(t))=e^{2t}\mathrm{.}$$また $c=g(a)$ と書けば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle h(f(x))}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+(c+x)\mathrm{/}(1+cx)}{1-(c+x)\mathrm{/}(1+cx)}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1+c}{1-c}}{\displaystyle \frac{1+x}{1-x}}=e^{2a}h(x)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$h(f(g(t)))=e^{2a}{e}^{2t}=e^{2(t+a)}=h(g(t+a))\mathrm{.}$$$h$ は $(-1,1)$ で1対1だから $f(g(t))=g(t+a)$ である。

(2)
$y_n=h(x_n)$ と置くと$$y_{n+1}=e^{2a}{y}_n,y_1=e^{2a}\mathrm{.}$$よって $y_n=e^{2na}$ であり、$$x_n={\displaystyle \frac{y_n-1}{y_n+1}}={\displaystyle \frac{e^{2na}-1}{e^{2na}+1}}\mathrm{.}$$$a>0$ なので $y_n\to \mathrm{\infty }$ であり、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=1.$$