北海道大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $\alpha$、$\beta$ はともに方程式 $x^2+x-1=0$ の解である。したがって $${\alpha }^2+\alpha -1=0,{\beta }^2+\beta -1=0$$ であり、$$1=\alpha +{\alpha }^2,1=\beta +{\beta }^2$$ が成り立つ。

第1式に ${\alpha }^n$、第2式に ${\beta }^n$ を掛けると$${\alpha }^n={\alpha }^{n+1}+{\alpha }^{n+2},{\beta }^n={\beta }^{n+1}+{\beta }^{n+2}$$である。これらを加えて$${\alpha }^n+{\beta }^n={\alpha }^{n+1}+{\beta }^{n+1}+{\alpha }^{n+2}+{\beta }^{n+2}$$を得る。

(2)
各解は $x^2=1-x$ を満たすので、$n\geqq 1$ に対して$${\alpha }^{n+2}={\alpha }^n-{\alpha }^{n+1},{\beta }^{n+2}={\beta }^n-{\beta }^{n+1}$$である。よって $t_{n+2}=t_n-t_{n+1}$ が成り立つ。また、$\alpha -\beta =\sqrt{5}$、$\alpha +\beta =-1$ だから $$t_1={\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{\sqrt{5}}}=1,$$ $$t_2={\displaystyle \frac{{\alpha }^2-{\beta }^2}{\sqrt{5}}}={\displaystyle \frac{(\alpha -\beta )(\alpha +\beta )}{\sqrt{5}}}=-1$$である。

ここで $$s_n=t_n^2-t_n{t}_{n+1}-t_{n+1}^2$$ とおく。$t_{n+2}=t_n-t_{n+1}$ を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s_{n+1}}& {\displaystyle =t_{n+1}^2-t_{n+1}{t}_{n+2}-t_{n+2}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t_{n+1}^2-t_{n+1}(t_n-t_{n+1})-(t_n-t_{n+1}{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-t_n^2+t_n{t}_{n+1}+t_{n+1}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-s_n\mathrm{.}}\end{array}$$さらに $$s_1=t_1^2-t_1{t}_2-t_2^2=1-(-1)-1=1$$ である。したがって $s_n=(-1{)}^{n+1}$ である。

よって求める和は $1-3+5-7+\cdots +(2n-1)(-1{)}^{n+1}$ となる。偶数番目までを組にすると $$(1-3)+(5-7)+\cdots +((4j-3)-(4j-1))=-2j$$ である。したがって、$n=2j$ のとき和は $-2j=-n$、$n=2j-1$ のとき和は直前の $-2(j-1)$ に $4j-3$ を加えて $2j-1=n$ である。まとめて$$\sum _{k=1}^n(2k-1)s_k=(-1{)}^{n+1}n$$である。

$t_n$ の初項と漸化式から、その絶対値がフィボナッチ型数列になり、符号だけが交互に変わることを示す。すると $s_n$ は隣接項の積の差になるので、その差が交互に $\pm 1$ となる恒等式を短い帰納計算で証明して用いる。最後の重み付き和は2項ずつ組にし、$n$ の偶奇を一つの式へまとめる。

(1)
$\alpha ,\beta$ はともに $x^2+x-1=0$ の解だから$$1=\alpha +{\alpha }^2,1=\beta +{\beta }^2\mathrm{.}$$それぞれに ${\alpha }^n,{\beta }^n$ を掛けて加えると$${\alpha }^n+{\beta }^n={\alpha }^{n+1}+{\beta }^{n+1}+{\alpha }^{n+2}+{\beta }^{n+2}$$を得る。

(2) $$F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$$ で定まる数列を考える。解法1と同じく$$t_1=1,t_2=-1,t_{n+2}=t_n-t_{n+1}\mathrm{.}$$したがって帰納法により$$t_n=(-1{)}^{n+1}{F}_n$$が成り立つ。実際、この式が $n,n+1$ で成り立つなら$$t_{n+2}=(-1{)}^{n+1}(F_n+F_{n+1})=(-1{)}^{n+3}{F}_{n+2}$$である。

ここで$$C_n=F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2(n\geqq 2)$$とおく。$C_2=1$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle C_{n+1}}& {\displaystyle =F_{n+2}{F}_n-F_{n+1}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(F_{n+1}+F_n)F_n-F_{n+1}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =F_n^2-F_{n+1}(F_{n+1}-F_n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =F_n^2-F_{n+1}{F}_{n-1}=-C_n}\end{array}$$だから $C_n=(-1{)}^n$ となる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s_n}& {\displaystyle =F_n^2+F_n{F}_{n+1}-F_{n+1}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =F_n^2-F_{n-1}{F}_{n+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(-1{)}^{n+1}\mathrm{.}}\end{array}$$求める和は$$1-3+5-7+\cdots +(2n-1)(-1{)}^{n+1}\mathrm{.}$$2項ずつ組にすると各組は $-2$ である。$n$ が偶数なら和は $-n$、奇数なら最後の正の項を加えて $n$ となる。したがって$$\sum _{k=1}^n(2k-1)s_k=(-1{)}^{n+1}n$$である。