北海道大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$P_n=(a_n,2a_n)$$であり、$Q_n$ は曲線 $C$ 上にあるから$${\displaystyle \frac{1}{2}}{a}_{n+1}^3=2a_n\mathrm{.}$$よって$$a_{n+1}^3=4a_n\mathrm{.}$$$a_1>0$ なので全ての $a_n$ は正である。

(2) $$a_n=2^{b_n}$$とおく。$b_1=-1$ であり、(1) から$$3b_{n+1}=b_n+2.$$したがって$$b_{n+1}-1={\displaystyle \frac{1}{3}}(b_n-1)\mathrm{.}$$よって$$b_n-1=-2{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{n-1}$$であり、$$a_n=2^{1-{\displaystyle \frac{2}{3^{n-1}}}}\mathrm{.}$$(3)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{a_1{a}_2\cdots a_n}{2^n}}}& {\displaystyle =2^{-2(1+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{3^{n-1}})}\mathrm{.}}\end{array}$$指数は$$-2\cdot {\displaystyle \frac{1-(1\mathrm{/}3{)}^n}{1-1\mathrm{/}3}}⟶-3$$だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{a_1{a}_2\cdots a_n}{2^n}}={\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$

関係式を2で規格化すると、$r_n=a_n\mathrm{/}2$ が $r_{n+1}^3=r_n$ を満たす。これを繰り返して一般項を直接求め、積の極限も同じ $r_n$ の指数和として計算する。

(1)
作図から$$a_{n+1}^3=4a_n\mathrm{.}$$(2)$$r_n={\displaystyle \frac{a_n}{2}}$$とおくと$$r_{n+1}^3=r_n,r_1={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$全て正なので$$r_{n+1}=r_n^{1\mathrm{/}3}\mathrm{.}$$繰り返せば$$r_n={\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^{1\mathrm{/}{3}^{n-1}}=2^{-2\mathrm{/}{3}^{n-1}}\mathrm{.}$$したがって$$a_n=2r_n=2^{1-{\displaystyle \frac{2}{3^{n-1}}}}\mathrm{.}$$(3)$${\displaystyle \frac{a_1{a}_2\cdots a_n}{2^n}}=r_1{r}_2\cdots r_n=2^{-2\sum _{j=0}^{n-1}{3}^{-j}}\mathrm{.}$$$$\sum _{j=0}^{n-1}{3}^{-j}⟶{\displaystyle \frac{3}{2}}$$だから、求める極限は$$2^{-3}={\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$