北海道大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
定義より$$(x-a)g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$である。両辺を微分すると$$g(x)+(x-a)g^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$$だから$$(x-a)g^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-g(x)$$を得る。

(2)
$f$ は増加関数なので、$a\leqq t\leqq x$ では $f(t)\leqq f(x)$ である。したがって$${\int }_a^{x}f(t)dt\leqq (x-a)f(x),$$すなわち $g(x)\leqq f(x)$ である。(1)から$$g^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{f(x)-g(x)}{x-a}}\geqq 0$$となるので、$g$ は増加関数である。

(3)
条件から $g=2f\mathrm{/}3$ である。$g$ は微分可能だから $f$ も $x>a$ で微分可能である。(1)へ代入すると$$(x-a){\displaystyle \frac{2}{3}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}f(x),$$したがって$${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}={\displaystyle \frac{1}{2(x-a)}}\mathrm{.}$$$f(x)>0$ に注意して積分すると$$f(x)=C\sqrt{x-a}(x>a),$$ただし $C>0$ である。連続性より $f(a)=0$ となる。

逆にこの関数では$$g(x)={\displaystyle \frac{1}{x-a}}{\int }_a^{x}C\sqrt{t-a}dt={\displaystyle \frac{2}{3}}C\sqrt{x-a}$$だから、確かに $2f=3g$ を満たす。よって$$f(a)=0,f(x)=C\sqrt{x-a}(x>a),C>0$$が求める関数である。

(1) は積分の定義式を積の形へ戻して微分する。(2)は区間平均が増加関数の右端値以下であることを面積比較として使う。(3)では定積分を新しい関数 $F(x)$ とおき、条件を $F$ の式へ直す。これにより元の $f$ の微分可能性を仮定せずに $F$ を先に求め、最後に微分して $f$ を復元する。

(1) $$(x-a)g(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$を微分すれば$$g(x)+(x-a)g^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$$である。移項して$$(x-a)g^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-g(x)$$を得る。

(2)
$g(x)$ は区間 $[a,x]$ における $f$ の平均値である。$f$ は増加関数なので、この平均値は右端値を超えず$$g(x)\leqq f(x)\mathrm{.}$$よって(1)と $x-a>0$ から $g^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ である。

(3) $$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$とおく。$F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)$, $g(x)=F(x)\mathrm{/}(x-a)$ だから、条件 $2f=3g$ は$$2F^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3F(x)}{x-a}}$$となる。$x>a$ では $F(x)>0$ なので$${\displaystyle \frac{F^{\mathrm{\prime }}(x)}{F(x)}}={\displaystyle \frac{3}{2(x-a)}}\mathrm{.}$$したがって正の定数 $K$ を用いて$$F(x)=K(x-a{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$これを微分すると$$f(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}K\sqrt{x-a}\mathrm{.}$$$C=3K\mathrm{/}2>0$ と書き直し、$x=a$ での連続性を加えると$$f(a)=0,f(x)=C\sqrt{x-a}(x>a),C>0$$を得る。直接積分すれば条件を満たすことも確認できる。