北海道大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
条件 $1\leqq 3n{l}_k\leqq 15$ より $${\displaystyle \frac{1}{3n}}\leqq l_k\leqq {\displaystyle \frac{5}{n}}$$ である。また、$[0,2]$ を分割しているので $l_1+l_2+\cdots +l_n=2$ である。 $a>1$ とする。このとき $a-1>0$ であり、$l_k\leqq {\displaystyle \frac{5}{n}}$ から $$l_k^{a-1}\leqq {\left({\displaystyle \frac{5}{n}}\right)}^{a-1}$$ である。したがって $$l_k^a=l_k{l}_k^{a-1}\leqq l_k{\left({\displaystyle \frac{5}{n}}\right)}^{a-1}$$ となる。これを $k=1,2,\dots ,n$ について足し合わせると$$0\leqq S_n\leqq {\left({\displaystyle \frac{5}{n}}\right)}^{a-1}(l_1+\cdots +l_n)=2{\left({\displaystyle \frac{5}{n}}\right)}^{a-1}$$である。$a-1>0$ だから右辺は $n\to \mathrm{\infty }$ で $0$ に近づく。よって 極限が0 である。

(2)
まず $0<a<1$ とする。このとき $a-1<0$ であるから、$l_k\leqq {\displaystyle \frac{5}{n}}$ より $$l_k^{a-1}\geqq {\left({\displaystyle \frac{5}{n}}\right)}^{a-1}$$ となる。したがって $$l_k^a=l_k{l}_k^{a-1}\geqq l_k{\left({\displaystyle \frac{5}{n}}\right)}^{a-1}$$ であり、足し合わせて$$S_n\geqq {\left({\displaystyle \frac{5}{n}}\right)}^{a-1}(l_1+\cdots +l_n)=2{\left({\displaystyle \frac{5}{n}}\right)}^{a-1}$$を得る。これは $2\cdot 5^{a-1}{n}^{1-a}$ であり、$1-a>0$ なので $n\to \mathrm{\infty }$ で無限大に発散する。

一方、$a=1$ のときは $$S_n=l_1+l_2+\cdots +l_n=2$$ で一定である。また $a>1$ のときは(1)より $S_n$ は $0$ に近づく。したがって 極限が無限大 となる $a$ の範囲は $0<a<1$ である。

各 $l_k$ の上下限をそのまま $a$ 乗し、$n$ 項の和として評価する。(1) は上限、(2) の $0<a<1$ では下限を使う。端点 $a=1$ と $a>1$ を別に確認して必要十分性を確定する。

条件から$${\displaystyle \frac{1}{3n}}\leqq l_k\leqq {\displaystyle \frac{5}{n}}\mathrm{.}$$(1)
$a>1$ なら$$0<S_n\leqq n{\left({\displaystyle \frac{5}{n}}\right)}^a=5^a{n}^{1-a}\mathrm{.}$$$1-a<0$ なので右辺は0へ近づく。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=0.$$(2)
$0<a<1$ なら$$S_n\geqq n{\left({\displaystyle \frac{1}{3n}}\right)}^a=3^{-a}{n}^{1-a}\mathrm{.}$$$1-a>0$ なので右辺は無限大へ発散する。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$$a=1$ では$$S_n=\sum _{k=1}^n{l}_k=2,$$$a>1$ では (1) より0へ近づく。ゆえに求める範囲は$$0<a<1.$$