北海道大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
直線 $l$ は $A=(1,\sqrt{2})$ の方向、直線 $m$ は $B=(-1,\sqrt{2})$ の方向をもつ。条件(i)より、0でない実数 $\alpha ,\beta$ を用いて $$f(A)=\alpha B,f(B)=\beta A$$ と書ける。

このとき $\mathrm{△}O{A}^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}$ の面積は、$\mathrm{△}OAB$ の面積の $\mathrm{\mid }\alpha \beta \mathrm{\mid }$ 倍である。条件(ii)より $\mathrm{\mid }\alpha \beta \mathrm{\mid }=1$ すなわち $$\alpha \beta =1\text{または}\alpha \beta =-1$$ である。

標準座標で行列を求める。任意の点を $A,B$ の係数で表すため、$$P=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ \sqrt{2}& \sqrt{2}\end{array}\right)$$とおくと、標準座標での行列は$$P\left(\begin{array}{cc}0& \beta \\ \alpha & 0\end{array}\right)P^{-1}$$である。計算すると$$\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{2}(-\alpha +\beta )}{4}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{2}(\alpha -\beta )}{2}}& {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\end{array}\right)$$となる。したがって求める条件は、ある実数 $\alpha ,\beta$ が存在して $\alpha \beta =\pm 1$ を満たし、行列が上の形で表されることである。

問題文の成分 $a,b,c,d$ で言い換えると $$d=-a,c=-2b,\mathrm{\mid }2b^2-a^2\mathrm{\mid }=1$$ である。

(2)
点 $C=(1,1)$ を $C=uA+vB$ と表す。成分を比較すると $$u-v=1,\sqrt{2}(u+v)=1$$ であるから$$u={\displaystyle \frac{1}{2}}(1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),v={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-1)$$である。特に $uv=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$ である。 $f(C)=(X,Y)$ とおくと $f(C)=u\alpha B+v\beta A$ だから $$X=-u\alpha +v\beta ,{\displaystyle \frac{Y}{\sqrt{2}}}=u\alpha +v\beta$$ である。よって$${\left({\displaystyle \frac{Y}{\sqrt{2}}}\right)}^2-X^2=(u\alpha +v\beta {)}^2-(-u\alpha +v\beta {)}^2=4uv\alpha \beta$$となる。$uv=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$ より $${\left({\displaystyle \frac{Y}{\sqrt{2}}}\right)}^2-X^2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\alpha \beta$$ であり、両辺を2倍して $Y^2-2X^2=-\alpha \beta$ を得る。 $\alpha \beta =1$ のとき $2X^2-Y^2=1$ であり、$\alpha \beta =-1$ のとき $Y^2-2X^2=1$ である。したがって点 $C$ が移る先は、原点を中心とし、漸近線を $Y=\pm \sqrt{2}X$ とする2本の双曲線 $$2X^2-Y^2=1,Y^2-2X^2=1$$ を描く。前者は左右に開き、後者は上下に開く。

直線 $l,m$ の方向ベクトルの像が相手の直線上にある条件を、行列成分で直接比較する。面積条件は変換倍率の絶対値、すなわち行列式の絶対値が1であることを使う。(2) は $C$ の像 $(X,Y)$ と $a,b$ の一次関係から成分を消去する。

(1) $$M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$とする。$A=(1,\sqrt{2})$ の像が $m$ 上にある条件は$$c+\sqrt{2}d=-\sqrt{2}(a+\sqrt{2}b)\mathrm{.}$$$B=(-1,\sqrt{2})$ の像が $l$ 上にある条件は$$-c+\sqrt{2}d=\sqrt{2}(-a+\sqrt{2}b)\mathrm{.}$$2式を加減して$$d=-a,c=-2b$$を得る。

三角形の面積倍率は$$\mathrm{\mid }\det M\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }ad-bc\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2b^2-a^2\mathrm{\mid }$$である。したがって必要十分条件は$$d=-a,c=-2b,\mathrm{\mid }2b^2-a^2\mathrm{\mid }=1.$$(2)
$C=(1,1)$ の像を $(X,Y)$ とすると$$X=a+b,Y=c+d=-2b-a\mathrm{.}$$これを解いて$$a=2X+Y,b=-X-Y\mathrm{.}$$よって$$2b^2-a^2=Y^2-2X^2\mathrm{.}$$したがって軌跡は$$\mathrm{\mid }{Y}^2-2X^2\mathrm{\mid }=1,$$すなわち$$2X^2-Y^2=1\text{または}{Y}^2-2X^2=1.$$前者は左右、後者は上下に開き、共通の漸近線は$$Y=\pm \sqrt{2}X$$である。