北海道大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$n=2$ のとき、左辺は ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ であり、右辺は $2\sqrt{2}-2$ である。差をとると $$2\sqrt{2}-2-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}-2$$ である。$3\sqrt{2}>4$ だから $${\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}-2>0$$ であり、$n=2$ で不等式は成り立つ。

次に、ある $n\geqq 2$ で $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}<2\sqrt{n}-2$$ が成り立つと仮定する。この両辺に $1\mathrm{/}\sqrt{n+1}$ を加えると$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}}}<2\sqrt{n}-2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}}}$$である。

ここで右辺の追加分を比較する。まず $$2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$$ である。一方、$$\sqrt{n}<\sqrt{n+1}$$ より $$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}<2\sqrt{n+1}$$ だから $${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}>{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}}}$$ である。したがって$$2\sqrt{n}-2+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}}}<2\sqrt{n}-2+\{2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}\}=2\sqrt{n+1}-2$$となる。よって $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}}}<2\sqrt{n+1}-2$$ が成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、すべての $n\geqq 2$ で$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}<2\sqrt{n}-2$$が成り立つ。

数学的帰納法の枠組みは保ち、帰納段階で必要な増加分の比較を通分して明らかな正の式に直す。基底、帰納法の仮定、$n+1$での結論を分離して書く。

左辺を$$S_n=\sum _{k=2}^n{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}}$$とおく。

基底

$n=2$のとき$$2\sqrt{2}-2-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{2}-4}{2}}>0$$だから、$S_2<2\sqrt{2}-2$である。

帰納法の段階

ある$n\geqq 2$について$$S_n<2\sqrt{n}-2$$が成り立つと仮定する。ここで$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}>0.}\end{array}$$したがって$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}}}<2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}\mathrm{.}$$帰納法の仮定にこの不等式を加えると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_{n+1}}& {\displaystyle =S_n+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle <2\sqrt{n}-2+2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\sqrt{n+1}-2.}\end{array}$$よって$n+1$でも成立する。

以上により、数学的帰納法からすべての$n\geqq 2$について$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}<2\sqrt{n}-2$$が成り立つ。