北海道大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
接点を $P(a,b)$ とする。$C_2:y=\log x$ 上の点なので $a>0$ である。

値が一致することから $c{a}^m=\log a$ である。また、2曲線が同じ接線をもつので、接点での傾きも一致する。$y=c{x}^m$ の傾きは $mc{x}^{m-1}$、$y=\log x$ の傾きは ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ だから $mc{a}^{m-1}={\displaystyle \frac{1}{a}}$ である。両辺に $a$ を掛けると $mc{a}^m=1$ すなわち $c{a}^m={\displaystyle \frac{1}{m}}$ となる。値の一致式と比べて $\log a={\displaystyle \frac{1}{m}}$ であるから $a=e^{1\mathrm{/}m}$ である。したがって $b=\log a={\displaystyle \frac{1}{m}}$ であり、さらに $$c={\displaystyle \frac{1}{m{a}^m}}={\displaystyle \frac{1}{me}}$$ である。

(2) $C_2:y=\log x$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わる。また、接点の $x$ 座標は $a=e^{1\mathrm{/}m}>1$ である。

ここで $h(x)=c{x}^m-\log x$ とおくと、$1\leqq x\leqq a$ において $$h^{\mathrm{\prime }}(x)=mc{x}^{m-1}-{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{x^m-e}{ex}}$$ である。$x<a=e^{1\mathrm{/}m}$ では $x^m<e$ なので $h^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、また $h(a)=0$ である。したがって $1\leqq x\leqq a$ では $C_1$ が $C_2$ の上にある。

よって囲まれた面積は$$S={\int }_0^{1}c{x}^{m}dx+{\int }_1^a(c{x}^m-\log x)dx$$であり、まとめて $$S={\int }_0^{a}c{x}^{m}dx-{\int }_1^a\log xdx$$ と書ける。したがって $$S={\displaystyle \frac{c{a}^{m+1}}{m+1}}-{[x\log x-x]}_1^a$$ である。後半は $${\int }_1^a\log xdx=a\log a-a+1$$ なので $$S={\displaystyle \frac{c{a}^{m+1}}{m+1}}-(a\log a-a+1)$$ である。

(1) より $a=e^{1\mathrm{/}m}$、$c={\displaystyle \frac{1}{me}}$、$\log a={\displaystyle \frac{1}{m}}$ を代入する。まず$${\displaystyle \frac{c{a}^{m+1}}{m+1}}={\displaystyle \frac{1}{m+1}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{me}}\cdot e^{(m+1)\mathrm{/}m}={\displaystyle \frac{e^{1\mathrm{/}m}}{m(m+1)}}$$であり、$$a\log a-a+1={\displaystyle \frac{e^{1\mathrm{/}m}}{m}}-e^{1\mathrm{/}m}+1$$ である。よって $$S={\displaystyle \frac{e^{1\mathrm{/}m}}{m(m+1)}}-{\displaystyle \frac{e^{1\mathrm{/}m}}{m}}+e^{1\mathrm{/}m}-1$$ となる。係数をまとめると $${\displaystyle \frac{1}{m(m+1)}}-{\displaystyle \frac{1}{m}}+1={\displaystyle \frac{m}{m+1}}$$ であるから $$S={\displaystyle \frac{m{e}^{1\mathrm{/}m}}{m+1}}-1$$ である。

接点の高さを $b$ と置く。値の一致から $b=c{a}^m=\log a$、傾きの一致に $c{a}^m=b$ を代入すると $mb=1$ が直ちに得られる。(2) は曲線の上下関係を導関数で確認し、二つの積分をまとめて計算する。

(1)
接点 $P(a,b)$ で$$b=c{a}^m=\log a\mathrm{.}$$傾きの一致から$$mc{a}^{m-1}={\displaystyle \frac{1}{a}}\mathrm{.}$$両辺に $a$ を掛け、$c{a}^m=b$ を用いると$$mb=1.$$したがって$$b={\displaystyle \frac{1}{m}},a=e^{1\mathrm{/}m},c={\displaystyle \frac{1}{me}}\mathrm{.}$$(2)$$h(x)=c{x}^m-\log x$$とすると$$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^m-e}{ex}}\mathrm{.}$$$1\leqq x<a=e^{1\mathrm{/}m}$ では $h^{\mathrm{\prime }}(x)<0$、かつ $h(a)=0$ なので、この区間では $C_1$ が $C_2$ の上にある。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{1}c{x}^{m}dx+{\int }_1^a(c{x}^m-\log x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{a}c{x}^{m}dx-{\int }_1^a\log xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{c{a}^{m+1}}{m+1}}-(a\log a-a+1)\mathrm{.}}\end{array}$$求めた $a,c$ を代入すると$$S={\displaystyle \frac{m{e}^{1\mathrm{/}m}}{m+1}}-1.$$