北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
まず $r=1$ の場合を考える。このとき $$a_n=1+a_{n-1},a_1=1$$ であるから $a_n=n$ である。

次に $r\mathrm{\ne }1$ とする。漸化式 $a_n=r+{\displaystyle \frac{1}{r}}{a}_{n-1}$ の一定値を $L$ とおくと $L=r+{\displaystyle \frac{1}{r}}L$ である。これを解いて $$L={\displaystyle \frac{r^2}{r-1}}$$ を得る。したがって $$a_n-L={\displaystyle \frac{1}{r}}(a_{n-1}-L)$$ である。これを繰り返すと $$a_n-L={\left({\displaystyle \frac{1}{r}}\right)}^{n-1}(a_1-L)$$ となる。ここで $$a_1-L=r-{\displaystyle \frac{r^2}{r-1}}=-{\displaystyle \frac{r}{r-1}}$$ であるから，$$a_n={\displaystyle \frac{r^2}{r-1}}-{\displaystyle \frac{r^{2-n}}{r-1}}={\displaystyle \frac{r^2-r^{2-n}}{r-1}}$$ である。

以上より$$a_n=\{\begin{array}{ll}n& (r=1),\\ {\displaystyle \frac{r^2-r^{2-n}}{r-1}}& (r\mathrm{\ne }1)\end{array}$$である。

(2)
定義より $$b_n=a_n+b_{n-1},b_1=a_1$$ であるから $b_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ である。 $r=1$ のとき，(1)より $a_k=k$ なので $$b_n=1+2+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$$ である。 $r\mathrm{\ne }1$ のとき，(1)より$$b_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{r^2-r^{2-k}}{r-1}}={\displaystyle \frac{n{r}^2}{r-1}}-{\displaystyle \frac{1}{r-1}}\sum _{k=1}^n{r}^{2-k}$$である。ここで$$\sum _{k=1}^n{r}^{2-k}=r+r^0+r^{-1}+\cdots +r^{2-n}={\displaystyle \frac{r^2(1-r^{-n})}{r-1}}$$だから $$b_n={\displaystyle \frac{n{r}^2}{r-1}}-{\displaystyle \frac{r^2(1-r^{-n})}{(r-1{)}^2}}$$ である。

したがって$$b_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}& (r=1),\\ {\displaystyle \frac{n{r}^2}{r-1}}-{\displaystyle \frac{r^2(1-r^{-n})}{(r-1{)}^2}}& (r\mathrm{\ne }1)\end{array}$$である。

漸化式へ前の項を繰り返し代入して、$a_n$を有限等比和として直接表す。(2)では$$b_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$$とし、得られた式を和にする。$r=1$だけは等比和の分母が0になるので分ける。

(1)

漸化式を順に展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =r+{\displaystyle \frac{1}{r}}{a}_{n-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r+1+{\displaystyle \frac{1}{r^2}}{a}_{n-2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cdots }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =r(1+{\displaystyle \frac{1}{r}}+{\displaystyle \frac{1}{r^2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{r^{n-1}}})\mathrm{.}}\end{array}$$$r=1$なら$a_n=n$である。$r\text{neqq}1$なら有限等比和より$$a_n=r{\displaystyle \frac{1-r^{-n}}{1-r^{-1}}}={\displaystyle \frac{r^2-r^{2-n}}{r-1}}\mathrm{.}$$したがって$$a_n=\{\begin{array}{ll}n& (r=1),\\ {\displaystyle \frac{r^2-r^{2-n}}{r-1}}& (r\text{neqq}1)\end{array}$$である。

(2)

$b_1=a_1$、$b_n=b_{n-1}+a_n$より$$b_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$$である。$r=1$なら$$b_n=\sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\mathrm{.}$$$r\text{neqq}1$なら(1)の式を代入して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{r-1}}\sum _{k=1}^n(r^2-r^{2-k})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n{r}^2}{r-1}}-{\displaystyle \frac{1}{r-1}}(r+1+r^{-1}+\cdots +r^{2-n})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n{r}^2}{r-1}}-{\displaystyle \frac{r^2(1-r^{-n})}{(r-1{)}^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$b_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}& (r=1),\\ {\displaystyle \frac{n{r}^2}{r-1}}-{\displaystyle \frac{r^2(1-r^{-n})}{(r-1{)}^2}}& (r\text{neqq}1)\end{array}$$である。