北海道大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
点 $P$ は $P=(x,\sin x)$ であり、点 $Q$ は $Q=(q,0)$ である。$PQ=1$ より $(x-q{)}^2+(\sin x{)}^2=1$ である。したがって $$(x-q{)}^2=1-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x$$ となる。

ここで $$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ だから $\cos x>0$ である。また条件より $q\leqq x$ なので $x-q\geqq 0$ である。よって $x-q=\cos x$ となり $q=x-\cos x$ である。

(2)
点 $P$ は曲線 $y=\sin x$ 上を動く。$x$ が時間 $t$ の関数であるとすると、弧長の速さは$${\displaystyle \frac{ds}{dt}}=\sqrt{1+{\left({\displaystyle \frac{dy}{dx}}\right)}^2}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}=\sqrt{1+{\cos }^{2}x}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}$$である。点 $P$ は右方向に速さ1で動くので $dx\mathrm{/}dt>0$ かつ $$1=\sqrt{1+{\cos }^{2}x}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{\cos }^{2}x}}}$$ である。

(1) より $q=x-\cos x$ なので $${\displaystyle \frac{dq}{dx}}=1+\sin x$$ である。したがって$${\displaystyle \frac{dq}{dt}}={\displaystyle \frac{dq}{dx}}{\displaystyle \frac{dx}{dt}}={\displaystyle \frac{1+\sin x}{\sqrt{1+{\cos }^{2}x}}}$$である。範囲内では $1+\sin x>0$ だから、これが点 $Q$ の速さである。

点 $P$ が原点を通る瞬間は $x=0$ である。このとき $${\displaystyle \frac{1+\sin 0}{\sqrt{1+{\cos }^{2}0}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である。よって$$\text{点 }Q\text{ の速さ }{\displaystyle \frac{1+\sin x}{\sqrt{1+{\cos }^{2}x}}},x=0\text{ では }{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$である。

(1) では長さ条件と符号条件から$x-q=\cos x$を得る。(2)では$P$の速度の大きさから$dx\mathrm{/}dt$を決め、固定長の式を時間で直接微分して$dq\mathrm{/}dt$を求める。

(1)

$PQ=1$より$$(x-q{)}^2+{\sin }^{2}x=1,$$したがって$$(x-q{)}^2={\cos }^{2}x\mathrm{.}$$範囲内では$\cos x>0$であり、$q\leqq x$だから$x-q\geqq 0$である。よって$$q=x-\cos x\mathrm{.}$$(2)

時間を$t$とする。点$P$の速度は$$({\displaystyle \frac{dx}{dt}},\cos x{\displaystyle \frac{dx}{dt}})$$である。右向きに速さ1だから$$\begin{array}{cccc}& 1=\sqrt{1+{\cos }^{2}x}{\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dx}{dt}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+{\cos }^{2}x}}}\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$固定長の式$$(x-q{)}^2+{\sin }^{2}x=1$$を$t$で微分すると$$2(x-q)({\displaystyle \frac{dx}{dt}}-{\displaystyle \frac{dq}{dt}})+2\sin x\cos x{\displaystyle \frac{dx}{dt}}=0.$$(1)で得た$x-q=\cos x>0$を用いて$\cos x$で割ると$${\displaystyle \frac{dq}{dt}}=(1+\sin x){\displaystyle \frac{dx}{dt}}={\displaystyle \frac{1+\sin x}{\sqrt{1+{\cos }^{2}x}}}\mathrm{.}$$これは範囲内で正なので、そのまま点$Q$の速さである。$x=0$では$${\displaystyle \frac{dq}{dt}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$