北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

平面 $x+y+z=-1$ の法線方向は $(1,1,1)$ である。点 $P=(x,y,z)$ からこの方向に下ろした点を $P^{\mathrm{\prime }}$ とすると $$P^{\mathrm{\prime }}=(x,y,z)-\lambda (1,1,1)$$ と書ける。$P^{\mathrm{\prime }}$ が平面 $x+y+z=-1$ 上にあるので $$(x-\lambda )+(y-\lambda )+(z-\lambda )=-1$$ である。したがって $$\lambda ={\displaystyle \frac{x+y+z+1}{3}}$$ であり，$$P^{\mathrm{\prime }}=(x,y,z)-{\displaystyle \frac{x+y+z+1}{3}}(1,1,1)$$ である。

4頂点を移すと $$O^{\mathrm{\prime }}=(-{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$ である。また $$A^{\mathrm{\prime }}=(-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{4}{3}}),$$ $$B^{\mathrm{\prime }}=({\displaystyle \frac{2}{3}},-{\displaystyle \frac{4}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}}),$$ $$C^{\mathrm{\prime }}=(-{\displaystyle \frac{4}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{2}{3}})$$ である。

点 $P$ が四面体 $K$ の内部および表面を動くとき，$P^{\mathrm{\prime }}$ はこれら4点の凸な範囲を動く。ここで $$O^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{A^{\mathrm{\prime }}+B^{\mathrm{\prime }}+C^{\mathrm{\prime }}}{3}}$$ であるから，$O^{\mathrm{\prime }}$ は三角形 $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ の内部にある。したがって動く範囲は三角形 $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ である。

辺の長さを求めると $$A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}=(1,-2,1),B^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}=(-2,1,1),C^{\mathrm{\prime }}{A}^{\mathrm{\prime }}=(1,1,-2)$$ である。いずれも長さは $$\sqrt{1^2+(-2{)}^2+1^2}=\sqrt{6}$$ である。よって $A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$ は1辺 $\sqrt{6}$ の正三角形であり，面積は $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(\sqrt{6}{)}^2={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$$ である。

3点$A,B,C$は同じ平面$x+y+z=3$上にあり、この平面は投影先と平行である。したがって面$ABC$の垂直投影は合同な三角形になる。残る頂点$O$の像がその三角形の重心であることを確認すれば、動く範囲全体がその三角形だと分かる。

3点$A,B,C$ではいずれも座標の和が3である。したがって三角形$ABC$は平面$$x+y+z=3$$上にあり、この平面は投影先の平面$x+y+z=-1$と平行である。

平行な2平面の間の垂直投影は、すべての点を同じベクトルだけ動かす平行移動である。よって$A,B,C$の像を$A^{\mathrm{\prime }},B^{\mathrm{\prime }},C^{\mathrm{\prime }}$とすれば、三角形$A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$は三角形$ABC$と合同である。

一方、$O$の像は$$O^{\mathrm{\prime }}=(-{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}},-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$である。三角形$ABC$の重心は$(1,1,1)$であり、その投影は$O^{\mathrm{\prime }}$になる。したがって$O^{\mathrm{\prime }}$は三角形$A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$の内部にある。四面体の各点は4頂点の重み付き平均で表せ、投影後も同じ重み付き平均になるので、投影範囲は三角形$A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$全体である。

辺の長さを元の三角形で計算すると$$\overrightarrow{AB}=(1,-2,1),\overrightarrow{BC}=(-2,1,1),\overrightarrow{CA}=(1,1,-2)\mathrm{.}$$いずれも長さは$\sqrt{6}$である。よって正三角形$ABC$、したがって$A^{\mathrm{\prime }}{B}^{\mathrm{\prime }}{C}^{\mathrm{\prime }}$の面積は$${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}(\sqrt{6}{)}^2={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$