北海道大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

球面 $S$ の中心を $C=(u,v,w)$ とし，$$d=OC=\sqrt{u^2+v^2+w^2}$$ とおく。$S$ は原点を通るので，$S$ の半径も $d$ である。したがって $S$ の方程式は $$(x-u{)}^2+(y-v{)}^2+(z-w{)}^2=d^2$$ である。これを展開し，$d^2=u^2+v^2+w^2$ を使うと $$x^2+y^2+z^2-2(ux+vy+wz)=0$$ となる。

一方，もう一つの球面は $x^2+y^2+z^2=1$ である。共通部分ではこの式を上の式に代入できるので $1-2(ux+vy+wz)=0$ すなわち $ux+vy+wz={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。つまり共通部分は，単位球面を平面 $ux+vy+wz={\displaystyle \frac{1}{2}}$ で切った円である。

この平面と原点との距離は $${\displaystyle \frac{1\mathrm{/}2}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}}}={\displaystyle \frac{1}{2d}}$$ である。単位球面を原点から距離 ${\displaystyle \frac{1}{2d}}$ の平面で切ると，切り口の円の半径 $r$ は $r^2=1-{\displaystyle \frac{1}{4d^2}}$ を満たす。条件より $r={\displaystyle \frac{1}{2}}$ だから $${\displaystyle \frac{1}{4}}=1-{\displaystyle \frac{1}{4d^2}}$$ である。これを解くと $d^2={\displaystyle \frac{1}{3}}$ となる。

したがって中心 $C=(u,v,w)$ が描く図形は $u^2+v^2+w^2={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。通常の座標名で書けば $x^2+y^2+z^2={\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

2球の中心を含む平面で切り、半径1と半径$d$の2円の共通弦を考える。共通円の半径が$1\mathrm{/}2$なので、単位球の中心から共通弦までの距離は$\sqrt{3}\mathrm{/}2$。2つの直角三角形から中心間距離$d$を決める。

球面$S$の中心を$C$、$d=OC$とする。$S$は原点$O$を通るので、その半径も$d$である。

2球の中心$O,C$を含む平面で切る。共通円はこの断面では共通弦となる。その中点を$H$とすると、$OH$と$CH$は共通弦に垂直である。

共通円の半径は${\displaystyle \frac{1}{2}}$で、単位球の半径は1だから$$O{H}^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2=1$$より$$OH={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$一方、球面$S$の半径は$d$なので$$C{H}^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2=d^2\mathrm{.}$$また、2球の方程式を差し引くか、共通弦に関する2つの直角三角形を比較すると$$OH={\displaystyle \frac{1}{2d}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{1}{2d}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},d={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$中心$C$の方向は任意で、原点からの距離だけが一定である。よって中心が描く図形は$$x^2+y^2+z^2={\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。