北海道大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

単位円上の任意の点 $(x,y)$ に対して，変換後の点も単位円上にある。したがって $$(ax+by{)}^2+(cx+dy{)}^2=x^2+y^2$$ がすべての $x,y$ について成り立つ。係数を比較すると $$a^2+c^2=1,b^2+d^2=1,ab+cd=0$$ である。

これは，2つの列ベクトル$$\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$$がともに長さ1で，互いに直角であることを意味する。よって，ある角 $\theta$ を用いて，行列は次のどちらかの形に書ける。$$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$または$$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$$である。

後者について調べる。この行列に対して，方向 $(\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}},\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}})$ の単位ベクトルは変わらない。したがって単位円上に $f(P)=P$ となる点が存在するので，問題の条件を満たさない。

前者は原点中心の回転である。$\theta$ が $2\pi$ の整数倍ならすべての点が動かないので条件に反する。一方，$\theta$ が $2\pi$ の整数倍でなければ，単位円上の点が自分自身に戻ることはない。

したがって求める変換は $$f(x,y)=(x\cos \theta -y\sin \theta ,x\sin \theta +y\cos \theta )$$ ただし $\theta \equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$ である。たとえば $0\leqq \theta <2\pi$ で表すなら $0<\theta <2\pi$ である。

単位円上の$(1,0)$と$(0,1)$の像をまず決める。像は互いに直交する単位ベクトルなので、第1列を$(\cos \theta ,\sin \theta )$と置けば第2列は2通りに限られる。一方は回転、他方は鏡映であり、鏡映には必ず固定方向がある。

単位円上の2点$$e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$の像は、それぞれ行列$A$の第1列と第2列である。単位円全体が単位円へ移るので、これらの像は長さ1で互いに垂直でなければならない。

そこで$$f(e_1)=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)$$と置く。これに垂直な単位ベクトルは$$\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\sin \theta \\ -\cos \theta \end{array}\right)$$の2通りである。

第1の場合、$$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$であり、これは原点を中心とする角$\theta$の回転である。$\theta \equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$ならすべての点が固定され、そうでなければ単位円上に固定点はない。

第2の場合、$$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)$$である。このとき単位ベクトル$$\left(\begin{array}{c}\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\\ \sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}\end{array}\right)$$は$A$をかけても変わらない。よって単位円上に固定点があり、条件に反する。

したがって求める1次変換は$$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right),\theta \equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$である。