北海道大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

回転後の座標を $(x,y)$、回転前の座標を $(X,Y)$ とする。図形を時計回りに $\pi \mathrm{/}4$ 回転しているので、回転後の点を反時計回りに $\pi \mathrm{/}4$ 戻せば回転前の点になる。したがって $$X={\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}},Y={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}}$$ である。

回転前の放物線は $$Y=\sqrt{2}{X}^2+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8}}$$ であるから、これを代入して$${\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}{\left({\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8}}$$を得る。両辺に $\sqrt{2}$ をかけると $x+y=(x-y{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。よって $4(x-y{)}^2-4x-4y+1=0$ が $C$ の方程式である。

(2)

直線 $x=a$ を (1)の式に代入すると $4(a-y{)}^2-4a-4y+1=0$ である。これは $y$ について $$4y^2+(-8a-4)y+4a^2-4a+1=0$$ という二次方程式である。

直線 $x=a$ が $C$ と接するためには、この二次方程式が重解をもてばよい。判別式は $$(-8a-4{)}^2-4\cdot 4(4a^2-4a+1)=128a$$ である。したがって接する条件は $128a=0$ であり、$a=0$ である。

(3)

(1) の式を $y$ について解く。$0\leqq x\leqq 1$ で $$y=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{2x}$$ である。下側の枝も $$x+{\displaystyle \frac{1}{2}}-\sqrt{2x}={(\sqrt{x}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})}^2\geqq 0$$ なので、$x$ 軸のまわりに回転すると、外半径と内半径はそれぞれ $x+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{2x},x+{\displaystyle \frac{1}{2}}-\sqrt{2x}$ である。

したがって体積は$$V=\pi {\int }_0^1[{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\sqrt{2x})}^2-{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}-\sqrt{2x})}^2]dx$$である。差の公式を使うと、被積分関数は$$4(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})\sqrt{2x}=4\sqrt{2}(x^{3\mathrm{/}2}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{1\mathrm{/}2})$$である。よって $$V=4\sqrt{2}\pi {\int }_0^1(x^{3\mathrm{/}2}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{1\mathrm{/}2})dx$$ $$=4\sqrt{2}\pi ({\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{44\sqrt{2}}{15}}\pi$$である。

回転前の放物線を媒介表示して回転後の $x,y$ を2つの平方にする。接線と2枝を同じ表示から読む。

(1)

回転前の放物線を媒介表示する。

回転前の点を$$(X,Y)=(t,\sqrt{2}{t}^2+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8}})$$とする。時計回りに $\pi \mathrm{/}4$ 回転すると$$x={\displaystyle \frac{X+Y}{\sqrt{2}}}={(t+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}})}^2,$$$$y={\displaystyle \frac{-X+Y}{\sqrt{2}}}={(t-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}})}^2\mathrm{.}$$この2式を消去すると$$x+y=(x-y{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}},$$すなわち$$4(x-y{)}^2-4x-4y+1=0.$$(2)
媒介表示で $x$ は平方だから、その最小値は0である。最小点では接線が鉛直になり、$$x=0$$が接線である。よって$$a=0.$$(3)
$0\leqq x\leqq 1$ で $$t+1\mathrm{/}(2\sqrt{2})=\pm \sqrt{x}$$ とすると、上下の枝は$$y_{\pm }=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \sqrt{2x}\mathrm{.}$$どちらも非負である。したがって円環断面法により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^1(y_{+}^2-y_{-}^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sqrt{2}\pi {\int }_0^1(x^{3\mathrm{/}2}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^{1\mathrm{/}2})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\sqrt{2}\pi ({\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{44\sqrt{2}\pi }{15}}\mathrm{.}}\end{array}$$