北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $P(a,b,c)$ は球 $S:x^2+y^2+z^2=1$ 上にあるので $a^2+b^2+c^2=1$ である。与えられた平面は $a(x-a)+b(y-b)+c(z-c)=0$ だから、これを整理すると $$ax+by+cz-(a^2+b^2+c^2)=0$$ である。したがって $ax+by+cz=1$ となる。

点 $(2,1,1)$ とこの平面の距離は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2a+b+c-1\mathrm{\mid }}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}}$ である。分母は1なので $d(P)=\mathrm{\mid }2a+b+c-1\mathrm{\mid }$ である。

(2) $d(P)=r$ は $\mathrm{\mid }2a+b+c-1\mathrm{\mid }=r$ であるから、$2a+b+c=1+r$ または $2a+b+c=1-r$ である。つまり、球面 $a^2+b^2+c^2=1$ と2枚の平面の交わりを考えればよい。

平面 $2a+b+c=k$ の原点からの距離は $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }}{\sqrt{6}}}$$ である。この平面が単位球面と1つの円で交わるための条件は $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }}{\sqrt{6}}}<1$$ すなわち $\mathrm{\mid }k\mathrm{\mid }<\sqrt{6}$ である。等号のときは1点で接するだけなので、円にはならない。

まず $k=1+r$ については、$r>0$ だから $\mathrm{\mid }1+r\mathrm{\mid }<\sqrt{6}$ は $r<\sqrt{6}-1$ と同値である。次に $k=1-r$ については $\mathrm{\mid }1-r\mathrm{\mid }<\sqrt{6}$ より $1-\sqrt{6}<r<1+\sqrt{6}$ であり、$r>0$ だから $r<1+\sqrt{6}$ である。

求める点全体が1つの円になるには、2枚の平面のうちちょうど1枚だけが球面と円で交わる必要がある。$1-r$ 側が円で交わる条件は $r<1+\sqrt{6}$ であり、$1+r$ 側が円で交わらない条件は $r\geqq \sqrt{6}-1$ である。ただし $r=\sqrt{6}-1$ では $1+r$ 側が球面に接して1点を加えるので、点全体は1つの円だけにならない。したがって $\sqrt{6}-1<r<\sqrt{6}+1$ である。

接平面距離を固定ベクトルへの射影値として捉え、単位球面上のレベル集合が円・点・空集合になる境界を読む。

(1) $$\mathit{p}=(a,b,c),\mathit{q}=(2,1,1)$$とおく。接平面は$$\mathit{p}\cdot \mathit{x}=1$$で、$\mathrm{\mid }\mathit{p}\mathrm{\mid }=1$ だから$$d(P)=\mathrm{\mid }\mathit{p}\cdot \mathit{q}-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2a+b+c-1\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$(2)

射影のレベル集合として見る。$$L(P)=\mathit{p}\cdot \mathit{q}$$とおく。Cauchy--Schwarzの不等式より、単位球面上で$$-\sqrt{6}\leqq L(P)\leqq \sqrt{6}\mathrm{.}$$$$d(P)=r$$は$$L(P)=1+r\text{または}L(P)=1-r$$を意味する。各レベル集合は、値が $(-\sqrt{6},\sqrt{6})$ の内部なら円、端点なら1点、範囲外なら空である。

$r>0$ のもとで $1-r$ 側だけが内部に入り、$1+r$ 側が範囲外となる条件は$$1-r>-\sqrt{6},1+r>\sqrt{6}\mathrm{.}$$端点では余分な接点が加わるため除外する。よって$$\sqrt{6}-1<r<\sqrt{6}+1.$$