北海道大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $x$ 軸上の点は $(x,0)$ と書ける。これらがすべて $x$ 軸上に移るので、行列の第1列の第2成分は $0$ である。したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}r& s\\ 0& t\end{array}\right)$$とおける。

格子点 $(1,0)$、$(0,1)$ も格子点に移るから、$(r,0),(s,t)$ はいずれも格子点である。よって $r,s,t\in \mathbb{Z}$ である。

単位正方形の移った図形は、ベクトル $(r,0)$ と $(s,t)$ で張られる平行四辺形である。その面積は $\mathrm{\mid }rt\mathrm{\mid }$ である。これが1に等しいので $\mathrm{\mid }rt\mathrm{\mid }=1$ であり、$r,t$ は整数だから $r=\pm 1,t=\pm 1$ である。

このとき$$A^2={\left(\begin{array}{cc}r& s\\ 0& t\end{array}\right)}^2=\left(\begin{array}{cc}{r}^2& s(r+t)\\ 0& t^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& s(r+t)\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。$r+t$ は $-2,0,2$ のいずれかなので、$s(r+t)$ は偶数である。したがって、ある整数 $m$ を用いて$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2m\\ 0& 1\end{array}\right)$$と書ける。

逆に、任意の整数 $m$ に対して$$A=\left(\begin{array}{cc}1& m\\ 0& 1\end{array}\right)$$とすれば条件を満たし、$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2m\\ 0& 1\end{array}\right)$$となる。よって求める形は$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2m\\ 0& 1\end{array}\right)(m\in \mathbb{Z})$$である。

格子点条件と面積条件から整数係数の上三角ユニモジュラ行列を分類し、その平方の全形を決める。

整数格子を保つ行列として分類する

$x$ 軸を $x$ 軸へ移すので$$A=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ 0& r\end{array}\right)\mathrm{.}$$$(1,0)$ と $(0,1)$ の像が格子点だから$$p,q,r\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$$単位正方形の像の面積は $\mathrm{\mid }\det A\mathrm{\mid }$ であり、これが1だから$$\mathrm{\mid }pr\mathrm{\mid }=1.$$よって$$p,r\in \{1,-1\}\mathrm{.}$$したがって$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& q(p+r)\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$$p+r\in \{-2,0,2\}$ なので右上成分は偶数である。逆に任意の $m\in \mathbb{Z}$ に対して$$A=\left(\begin{array}{cc}1& m\\ 0& 1\end{array}\right)$$はすべての条件を満たし、$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2m\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$ゆえに求める形は$$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2m\\ 0& 1\end{array}\right)(m\in \mathbb{Z})\mathrm{.}$$