北海道大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

平面 $\alpha :x+y+2z=0$ の法線ベクトルは $\vec{n}=(1,1,2)$ である。点 $P=(x,y,0)$ について $P\cdot \vec{n}=x+y$ であり、$$\mathrm{\mid }\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2=1^2+1^2+2^2=6$$ である。

点 $P$ から平面 $\alpha$ へ下ろした垂線の足を $H$ とすると、$P$ から $H$ までの移動は法線方向に ${\displaystyle \frac{x+y}{6}}\vec{n}$ だけ進むことに対応する。したがって、平面に関して対称な点 $Q$ は $$Q=P-2\cdot {\displaystyle \frac{x+y}{6}}\vec{n}=P-{\displaystyle \frac{x+y}{3}}(1,1,2)$$ である。

よって $$Q=(x-{\displaystyle \frac{x+y}{3}},y-{\displaystyle \frac{x+y}{3}},-{\displaystyle \frac{2(x+y)}{3}})$$ であり、$$x^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2x-y}{3}},y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{-x+2y}{3}}$$ である。これは $x,y$ の一次式で表されるから、$f$ は1次変換である。行列は$$X={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$$である。

(2) $$A=(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$$ とおく。このとき $$B=(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})=({\displaystyle \frac{2x-y}{3}},{\displaystyle \frac{-x+2y}{3}})$$ である。 $O,A,B$ が同一直線上にあるための条件は、$(x,y)$ と $(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})$ が平行であること、すなわち $x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }}=0$ である。これに代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }}}& {\displaystyle =x\cdot {\displaystyle \frac{-x+2y}{3}}-y\cdot {\displaystyle \frac{2x-y}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{-x^2+2xy-2xy+y^2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{y^2-x^2}{3}}}\end{array}$$である。したがって $y^2=x^2$ であり、$$y=x\text{または}y=-x$$ である。

まず $y=x$ のとき、単位円上の点なので$$A=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$$であり、$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$$ である。このとき $$B=({\displaystyle \frac{x}{3}},{\displaystyle \frac{y}{3}})={\displaystyle \frac{1}{3}}A$$ である。したがって$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}:A=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),B=({\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}}),$$$$\theta ={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}:A=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),B=(-{\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}})$$である。

次に $y=-x$ のとき、単位円上の点なので$$A=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$$であり、$$\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{4}},{\displaystyle \frac{7\pi }{4}}$$ である。このとき $x+y=0$ だから反射しても $(x,y)$ 成分は変わらず $B=A$ である。よって$$\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}:A=B=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),$$$$\theta ={\displaystyle \frac{7\pi }{4}}:A=B=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$$である。

平面反射から得た行列が方向 $(1,1)$ を $1\mathrm{/}3$ 倍し、方向 $(1,-1)$ をそのまま保つことを直接確認する。任意の点をこの2方向に分解し、像と同一直線になるのがどちらか一方の成分だけをもつ場合であることを示す。

(1)

平面の法線ベクトルは $n=(1,1,2)$ である。$P=(x,y,0)$ を平面に関して反射すると$$Q=P-2{\displaystyle \frac{P\cdot n}{n\cdot n}}n=P-{\displaystyle \frac{x+y}{3}}(1,1,2)\mathrm{.}$$したがって$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって $f$ は1次変換で、$$X={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)

任意の $(x,y)$ を$$(x,y)=r(1,1)+s(1,-1)$$と分解する。行列を直接掛けると$$f(1,1)={\displaystyle \frac{1}{3}}(1,1),f(1,-1)=(1,-1)\mathrm{.}$$したがって$$B={\displaystyle \frac{r}{3}}(1,1)+s(1,-1)\mathrm{.}$$$A$ と $B$ が平行になる条件を2方向の係数で比べると、伸縮率 $1\mathrm{/}3$ と1が異なるため$$r=0\text{または}s=0.$$すなわち $A$ は $y=-x$ または $y=x$ 上にある。

$y=x$ では$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{5\pi }{4}},B={\displaystyle \frac{1}{3}}A,$$したがって$$(A,B)=(({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),({\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}}))$$または両座標の符号を反転した組である。

$y=-x$ では$$\theta ={\displaystyle \frac{3\pi }{4}},{\displaystyle \frac{7\pi }{4}},B=A,$$したがって$$A=B=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})$$または$$A=B=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}},-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})\mathrm{.}$$