北海道大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$(1,2)$ と $(-2,1)$ は直交し，長さはいずれも $\sqrt{5}$ である．いま $P=(a,1-a)$ である．$Q$ は $P$ と同じ長さで $P$ に直交するので，$P$ を直角に回した2通り $$Q=(a-1,a),Q=(1-a,-a)$$ のいずれかである．

(1) $B$ を$$B=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$$とおくと，$A(1,2{)}^T=P^T$，$A(-2,1{)}^T=Q^T$ は$$AB=\left(\begin{array}{cc}P& Q\end{array}\right)$$と書ける．ここで$$B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right)$$である．

まず $Q=(a-1,a)$ のとき$$A=\left(\begin{array}{cc}a& a-1\\ 1-a& a\end{array}\right){\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2-a}{5}}& {\displaystyle \frac{3a-1}{5}}\\ {\displaystyle \frac{1-3a}{5}}& {\displaystyle \frac{2-a}{5}}\end{array}\right)$$である．
次に $Q=(1-a,-a)$ のとき$$A=\left(\begin{array}{cc}a& 1-a\\ 1-a& -a\end{array}\right){\displaystyle \frac{1}{5}}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3a-2}{5}}& {\displaystyle \frac{a+1}{5}}\\ {\displaystyle \frac{a+1}{5}}& {\displaystyle \frac{2-3a}{5}}\end{array}\right)$$である．

(2) 回転は長さを変えず，向きも保つ変換である．上の2通りのうち，$Q=(a-1,a)$ は $(1,2),(-2,1)$ の向きと $P,Q$ の向きが同じ場合であり，回転になりうる．一方 $Q=(1-a,-a)$ は向きが反対になるので，回転ではない．

したがって第1の行列について，$(1,2)$ の長さ $\sqrt{5}$ と $P$ の長さが等しい条件を課せばよい． $$\mathrm{\mid }P{\mathrm{\mid }}^2=a^2+(1-a{)}^2=2a^2-2a+1$$ であるから $2a^2-2a+1=5$ すなわち $a^2-a-2=0$ である．よって $a=-1,2$ となる．これらを第1の行列に代入して$$\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{5}}& -{\displaystyle \frac{4}{5}}\\ {\displaystyle \frac{4}{5}}& {\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$$を得る．

直交する基底とその像

平面を複素数平面とみなし，$(1,2)$ と $(-2,1)$ が ${90}^{\circ }$ 回転で移り合うことを使う．向きを保つ場合は複素数の掛け算，反転する場合は共役を含む掛け算として2族の行列を得る．

ベクトル $(x,y)$ を複素数 $z=x+iy$ と同一視する．$$u=1+2i,iu=-2+i$$だから，問題で与えられた2本の入力ベクトルは正の向きに ${90}^{\circ }$ 回転して移り合う．
また$$w=a+(1-a)i$$を $P$ に対応する複素数とする．

(1)

$Q$ は $P$ と直交し同じ長さなので，対応する複素数は $iw$ または $-iw$ である．

まず $u\mapsto w,iu\mapsto iw$ の場合，変換は $z\mapsto cz$ で$$c={\displaystyle \frac{w}{u}}={\displaystyle \frac{a+(1-a)i}{1+2i}}={\displaystyle \frac{2-a}{5}}+{\displaystyle \frac{1-3a}{5}}i\mathrm{.}$$複素数 $r+si$ を掛ける行列は$$\left(\begin{array}{cc}r& -s\\ s& r\end{array}\right)$$なので$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{2-a}{5}}& {\displaystyle \frac{3a-1}{5}}\\ {\displaystyle \frac{1-3a}{5}}& {\displaystyle \frac{2-a}{5}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$次に $u\mapsto w,iu\mapsto -iw$ の場合，向きを反転する実線形変換であり
$z\mapsto c\bar{z}$ と書ける．$c\bar{u}=w$ から$$c={\displaystyle \frac{w}{\bar{u}}}={\displaystyle \frac{3a-2}{5}}+{\displaystyle \frac{a+1}{5}}i\mathrm{.}$$$z\mapsto (r+si)\bar{z}$ の行列は$$\left(\begin{array}{cc}r& s\\ s& -r\end{array}\right)$$だから$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3a-2}{5}}& {\displaystyle \frac{a+1}{5}}\\ {\displaystyle \frac{a+1}{5}}& {\displaystyle \frac{2-3a}{5}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)

回転は第1の族に限られ，さらに $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }=1$，すなわち $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=\sqrt{5}$ が必要十分である．$$a^2+(1-a{)}^2=5$$を解くと $a=-1,2$．したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{5}}& -{\displaystyle \frac{4}{5}}\\ {\displaystyle \frac{4}{5}}& {\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$