北海道大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

辺 $BC$ 上の点は、実数 $s$ を用いて $$(-2,0)+s\{(3,1)-(-2,0)\}=(-2+5s,s)$$ と表せる。線分 $OA$ は $A(2,2)$ と原点を通るので、直線としては $y=x$ である。したがって交点では $s=-2+5s$ となるから $s={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。よって $$D=(-2+{\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である。

また $A=(2,2)$ なので $D={\displaystyle \frac{1}{4}}A$ である。したがって $OD:OA={\displaystyle \frac{1}{4}}:1=1:4$ である。

(2)

1次変換では定数倍が保たれるから、$D={\displaystyle \frac{1}{4}}A$ より $S=f(D)={\displaystyle \frac{1}{4}}f(A)$ である。問題文より $f(A)=P=(4,0)$ だから $S={\displaystyle \frac{1}{4}}(4,0)=(1,0)$ である。

(3) $D$ は $BC$ の中点でもあるから、$S=f(D)$ は、$f(B)$ と $f(C)$ を結ぶ辺の中点である。正三角形で、頂点 $P=(4,0)$ と反対側の辺の中点が $S=(1,0)$ なので、$PS$ は正三角形の高さであり $PS=3$ である。

正三角形の一辺を $r$ とすると、高さは ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r$ である。よって $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}r=3,r=2\sqrt{3}$$ であり、反対側の辺の半分の長さは $\sqrt{3}$ である。したがって残り2頂点は $(1,\sqrt{3}),(1,-\sqrt{3})$ である。

まず $$f(B)=(1,\sqrt{3}),f(C)=(1,-\sqrt{3})$$ の場合を考える。行列を$$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$とおくと$$X\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right),X\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ \sqrt{3}\end{array}\right)$$である。第1成分について $2a+2b=4,3a+b=1$ より $$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}},b={\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。第2成分について $$2c+2d=0,3c+d=\sqrt{3}$$ より $$c={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},d=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。したがって$$X=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{5}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)$$である。

上下を入れ替えて $$f(B)=(1,-\sqrt{3}),f(C)=(1,\sqrt{3})$$ とする場合は、第1成分は同じで、第2成分の符号が反対になる。よって$$X=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{5}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)$$である。以上の2つが求める行列である。

線形性から $D=A\mathrm{/}4$ と像 $S=P\mathrm{/}4$ を得る。正三角形の残り2頂点を決めた後、列ベクトル行列 $[AB]$ の逆行列を用いて $X=[f(A)f(B)][AB{]}^{-1}$ と一括計算する。

(1)

$BC$ の中点は$${\displaystyle \frac{B+C}{2}}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{4}}A\mathrm{.}$$この点は線分 $OA$ 上にもある。直線 $OA$ と $BC$ は一致しないので交点は一意であり、$$D=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}),OD:OA=1:4.$$(2)

線形性より$$S=f(D)={\displaystyle \frac{1}{4}}f(A)={\displaystyle \frac{1}{4}}P=(1,0)\mathrm{.}$$(3)

$S$ は $f(B)f(C)$ の中点である。正三角形の頂点 $P=(4,0)$ と反対辺の中点が
$S=(1,0)$ だから、高さは3であり、残る2頂点は$$(1,\sqrt{3}),(1,-\sqrt{3})$$である。$$[AB]=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 1\end{array}\right),[AB{]}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$$$f(B)=(1,\epsilon \sqrt{3})$$（$\epsilon =\pm 1$）とおけば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X}& {\displaystyle =[f(A)f(B)][AB{]}^{-1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 0& \epsilon \sqrt{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{5}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\epsilon \sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{\epsilon \sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $\epsilon =1,-1$ に対応する2行列がすべてである。