北海道大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

点 $P(x,y)$ の像を $P^{\mathrm{\prime }}(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})$ とすると $$x^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{3x-y}{4}},y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{-x+3y}{4}}$$ である．ここから $$x^{\mathrm{\prime }}+y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{x+y}{2}},x^{\mathrm{\prime }}-y^{\mathrm{\prime }}=x-y$$ がわかる．つまり，$x+y$ は1回ごとに ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 倍され，$x-y$ は変わらない．

(1) $f(P)=P$ ならば $x^{\mathrm{\prime }}=x$, $y^{\mathrm{\prime }}=y$ である．第1式だけを見ても $${\displaystyle \frac{3x-y}{4}}=x$$ より $x+y=0$ を得る．逆に $x+y=0$ ならば上の式から $x^{\mathrm{\prime }}=x$, $y^{\mathrm{\prime }}=y$ である．したがって固定される点は直線 $x+y=0$ 上にある．
さらに $x^2+y^2=2$ より，$y=-x$ を代入して $2x^2=2,x=\pm 1$ である．よって $P=(1,-1),(-1,1)$ となる．

(2) 初期値が $P_0=(1,1)$ のとき $$x_0+y_0=2,x_0-y_0=0$$ である．上で調べた変化より $$x_n+y_n=2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n,x_n-y_n=0$$ である．したがって $x_n=y_n$ であり，$$2x_n=2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n$$ から $$P_n=({\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n,{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n)$$ となる．

(3) 初期値が $P_0=(2,0)$ のとき $$x_0+y_0=2,x_0-y_0=2$$ である．よって $$x_n+y_n=2{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n,x_n-y_n=2$$ となる．和と差から座標に戻すと$$x_n={\displaystyle \frac{(x_n+y_n)+(x_n-y_n)}{2}},y_n={\displaystyle \frac{(x_n+y_n)-(x_n-y_n)}{2}}$$なので$$P_n=(1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n,-1+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n)$$である．

2つの固有方向

行列の固有方向 $(1,1)$, $(1,-1)$ を先に見つけ，初期ベクトルをその2方向へ分解する．$A^n$ は各成分をそれぞれ $2^{-n}$ 倍，1倍するだけなので，反復を一度に計算できる．

$${\mathit{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\mathit{e}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$とおく．直接計算すると$$A{\mathit{e}}_1={\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathit{e}}_1,A{\mathit{e}}_2={\mathit{e}}_2\mathrm{.}$$したがって$$A^n{\mathit{e}}_1=2^{-n}{\mathit{e}}_1,A^n{\mathit{e}}_2={\mathit{e}}_2\mathrm{.}$$(1)

$f(P)=P$ となるのは，${\mathit{e}}_1$ 方向の成分が0のとき，すなわち$$P=s{\mathit{e}}_2=(s,-s)$$ のときである．条件 $x^2+y^2=2$ から$$2s^2=2$$なので $s=\pm 1$．よって$$P=(1,-1),(-1,1)\mathrm{.}$$(2)$$P_0=(1,1)={\mathit{e}}_1$$だから$$P_n=A^n{P}_0=2^{-n}{\mathit{e}}_1=(2^{-n},2^{-n})\mathrm{.}$$(3)$$P_0=(2,0)={\mathit{e}}_1+{\mathit{e}}_2$$である．よって$$P_n=A^n{P}_0=2^{-n}{\mathit{e}}_1+{\mathit{e}}_2=(1+2^{-n},-1+2^{-n})\mathrm{.}$$