北海道大学 1995年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

$x$ 軸方向のベクトル $(1,0)$ と $y$ 軸方向のベクトル $(0,1)$ を，$y=x$ 方向と $y=-x$ 方向に分ける． $$(1,0)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1,1)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(1,-1)$$ である．条件より，$(1,1)$ 方向の成分は $p$ 倍，$(1,-1)$ 方向の成分は $q$ 倍されるので，$(1,0)$ の像は$${\displaystyle \frac{p}{2}}(1,1)+{\displaystyle \frac{q}{2}}(1,-1)=({\displaystyle \frac{p+q}{2}},{\displaystyle \frac{p-q}{2}})$$である．

同様に $$(0,1)={\displaystyle \frac{1}{2}}(1,1)-{\displaystyle \frac{1}{2}}(1,-1)$$ だから，$(0,1)$ の像は$${\displaystyle \frac{p}{2}}(1,1)-{\displaystyle \frac{q}{2}}(1,-1)=({\displaystyle \frac{p-q}{2}},{\displaystyle \frac{p+q}{2}})$$である．

この2つの像を$$\mathit{u}=({\displaystyle \frac{p+q}{2}},{\displaystyle \frac{p-q}{2}}),\mathit{v}=({\displaystyle \frac{p-q}{2}},{\displaystyle \frac{p+q}{2}})$$とおく．内積は$$\mathit{u}\cdot \mathit{v}={\displaystyle \frac{(p+q)(p-q)+(p-q)(p+q)}{4}}={\displaystyle \frac{p^2-q^2}{2}}$$であり，長さは$$\mathrm{\mid }\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{(p+q{)}^2+(p-q{)}^2}{4}}={\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}$$である．したがって，2つの像のなす角の余弦は$${\displaystyle \frac{\mathit{u}\cdot \mathit{v}}{\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\mathit{v}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}}$$である．ただし問題の $\theta$ は $$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ の角なので，鋭角側を取るため絶対値を付ける．よって $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{p}^2-q^2\mathrm{\mid }}{p^2+q^2}}$$ である．

座標軸の像

変換行列を先に作り，その2列を $x$ 軸と $y$ 軸の像とみなす．2列の長さと行列式から角の正弦を求め，三角恒等式で鋭角側の余弦を出す．

任意のベクトルは$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)={\displaystyle \frac{x+y}{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+{\displaystyle \frac{x-y}{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$と分解できる．したがって変換行列は$$A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}p+q& p-q\\ p-q& p+q\end{array}\right)\mathrm{.}$$$x$ 軸，$y$ 軸の像はそれぞれ第1列，第2列だから$$\mathit{u}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{c}p+q\\ p-q\end{array}\right),\mathit{v}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{c}p-q\\ p+q\end{array}\right)\mathrm{.}$$両者の長さは等しく，$$\mathrm{\mid }\mathit{u}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\mathit{v}{\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{p^2+q^2}{2}}\mathrm{.}$$また，2本のベクトルが張る平行四辺形の面積は$$\mathrm{\mid }\det A\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }pq\mathrm{\mid }$$である．したがって鋭角側のなす角 $\theta$ について$$\sin \theta ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\det A\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\mathit{u}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\mathit{v}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{2\mathrm{\mid }pq\mathrm{\mid }}{p^2+q^2}}\mathrm{.}$$$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ だから $\cos \theta \geqq 0$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \cos \theta }& {\displaystyle =\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{(p^2+q^2{)}^2-4p^2{q}^2}}{p^2+q^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{p}^2-q^2\mathrm{\mid }}{p^2+q^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$