北海道大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
交点 $A$ では $$1-x^2=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-1)x^2$$ が成り立つ。右辺を移項すると $$1=\{1+({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-1)\}{x}^2={\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}$$ であるから $x^2=a^2$ となる。$A$ は第1象限内の交点であり、$0<a<1$ なので $x=a$ である。したがって、$A$ から $x$ 軸に下ろした垂線の足は $B=(a,0)$ である。

(2) $0<a<1$ より $${\displaystyle \frac{1}{a^2}}-1>0$$ である。求める図形は、$x=0$、$x=a$、$x$ 軸、放物線 $$y=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-1)x^2$$ で囲まれる部分である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^a({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-1)x^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-1){\displaystyle \frac{a^3}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a(1-a^2)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$S={\displaystyle \frac{a-a^3}{3}}$$ である。

(3) $$S(a)={\displaystyle \frac{a-a^3}{3}}$$ とおくと $$S^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{1-3a^2}{3}}$$ である。$0<a<1$ において、$S^{\mathrm{\prime }}(a)=0$ となるのは $$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。また $$0<a<{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\text{で}{S}^{\mathrm{\prime }}(a)>0,$$ $${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}<a<1\text{で}{S}^{\mathrm{\prime }}(a)<0$$ であるから、この値で $S$ は最大となる。よって、面積 $S$ を最大にする値は $$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。

微分せず、最大化する正の式を3数の相加相乗平均へ帰着する。$t=a^2$ と置き、$S^2$ を扱う。

(1)

2曲線の交点では$$1-x^2=({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-1)x^2$$である。第1象限かつ $a>0$ より $x=a$ なので$$B=(a,0)\mathrm{.}$$(2)

放物線の下の面積を直接積分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^a({\displaystyle \frac{1}{a^2}}-1)x^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a(1-a^2)}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

$t=a^2$ とおくと $0<t<1$ であり$$S^2={\displaystyle \frac{t(1-t{)}^2}{9}}\mathrm{.}$$正の3数$$t,{\displaystyle \frac{1-t}{2}},{\displaystyle \frac{1-t}{2}}$$の和は1である。相加相乗平均より$${\displaystyle \frac{t(1-t{)}^2}{4}}\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3\mathrm{.}$$等号は$$t={\displaystyle \frac{1-t}{2}}$$すなわち $t=1\mathrm{/}3$ のときに限る。$S>0$ なので $S$ も同じとき最大となり、$$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$