北海道大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
直線 $L_2:y=\sqrt{3}x$ は $x$ 軸の正の向きとなす角が ${60}^{\circ }$ の直線である。原点を通り、角 $\theta$ をなす直線に関する対称移動は $(x,y)\mapsto (x\cos 2\theta +y\sin 2\theta ,x\sin 2\theta -y\cos 2\theta )$ で表せる。ここで $\theta ={60}^{\circ }$ だから $$\cos {120}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{2}},\sin {120}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。したがって $P=(a,b)$ の $L_2$ に関する対称点 $R$ は $$R=({\displaystyle \frac{-a+\sqrt{3}b}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}a+b}{2}})$$ である。

(2)
直線 $L_1$ は $x$ 軸であるから、$P=(a,b)$ の $L_1$ に関する対称点は $Q=(a,-b)$ である。(1)の結果より $$R=({\displaystyle \frac{-a+\sqrt{3}b}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}a+b}{2}})$$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q{R}^2}& {\displaystyle ={({\displaystyle \frac{-a+\sqrt{3}b}{2}}-a)}^2+{({\displaystyle \frac{\sqrt{3}a+b}{2}}+b)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left({\displaystyle \frac{-3a+\sqrt{3}b}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}a+3b}{2}}\right)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{9a^2-6\sqrt{3}ab+3b^2+3a^2+6\sqrt{3}ab+9b^2}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3(a^2+b^2)\mathrm{.}}\end{array}$$ $QR=2$ であるから $3(a^2+b^2)=4$ である。よって、点 $P$ の軌跡 $C$ は $$a^2+b^2={\displaystyle \frac{4}{3}}$$ すなわち、原点を中心とする半径 $2\mathrm{/}\sqrt{3}$ の円である。

(3)
三角形 $PQR$ の面積を $S$ とする。$P=(a,b)$、$Q=(a,-b)$ であるから、$PQ$ は鉛直方向の線分で長さ $2\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }$ である。点 $R$ から直線 $PQ$、すなわち直線 $x=a$ までの距離は $$\mid {\displaystyle \frac{-a+\sqrt{3}b}{2}}-a\mid ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-3a+\sqrt{3}b\mathrm{\mid }}{2}}$$ である。したがって$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }-3a+\sqrt{3}b\mathrm{\mid }}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\mid }b(3a-\sqrt{3}b)\mathrm{\mid }$$である。

(2) より $a^2+b^2=4\mathrm{/}3$ なので $$a={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\cos \theta ,b={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\sin \theta$$ とおける。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\sin \theta (3\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\cos \theta -\sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\sin \theta )\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid \sin 2\theta -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}(1-\cos 2\theta )\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\sin (2\theta +{30}^{\circ })-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mid 2\sin (2\theta +{30}^{\circ })-1\mid \mathrm{.}}\end{array}$$ $\sin (2\theta +{30}^{\circ })$ は $-1$ 以上 $1$ 以下であるから、$\mathrm{\mid }2\sin (2\theta +{30}^{\circ })-1\mathrm{\mid }$ の最大値は、$$\sin (2\theta +{30}^{\circ })=-1$$ のときの3である。したがって面積の最大値は $\sqrt{3}$ である。

このとき $$2\theta +{30}^{\circ }={270}^{\circ }+{360}^{\circ }k$$ であるから $$\theta ={120}^{\circ }+{180}^{\circ }k$$ である。よって点 $P$ は$$P=({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\cos {120}^{\circ },{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\sin {120}^{\circ })=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},1)$$または$$P=({\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\cos {300}^{\circ },{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}\sin {300}^{\circ })=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},-1)$$である。

反射行列で座標と軌跡を求める。面積は二次式 $q=3ab-\sqrt{3}{b}^2$ の絶対値となるので、円の条件を足し引きして完全平方で上下から評価する。

(1)

${60}^{\circ }$ の方向の単位ベクトルを$$\mathit{e}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$とする。直線 $L_2$ に関する反射は、$\mathit{p}=(a,b)$ の $L_2$ 方向成分を残し、垂直成分の符号を反転する変換$$\mathit{r}=2(\mathit{p}\cdot \mathit{e})\mathit{e}-\mathit{p}$$である。計算すると$$R=({\displaystyle \frac{-a+\sqrt{3}b}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}a+b}{2}})\mathrm{.}$$(2)

$Q=(a,-b)$ なので、直接差を取ると$$Q{R}^2=3(a^2+b^2)\mathrm{.}$$したがって $QR=2$ の条件は$$a^2+b^2={\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}$$よって軌跡は原点中心、半径 $2\mathrm{/}\sqrt{3}$ の円である。

(3)

行列式で面積を求めると$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid 3ab-\sqrt{3}{b}^2\mid \mathrm{.}$$$$q=3ab-\sqrt{3}{b}^2$$とおく。円の条件を利用すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle q+{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}(a^2+b^2)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(\sqrt{3}a+b{)}^2\geqq 0,}\\ {\displaystyle q-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(a^2+b^2)}& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(a-\sqrt{3}b{)}^2\leqq 0.}\end{array}$$$a^2+b^2=4\mathrm{/}3$ より$$-2\sqrt{3}\leqq q\leqq {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}\mathrm{.}$$したがって $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ の最大値は $2\sqrt{3}$、面積の最大値は$$S_{\max }=\sqrt{3}\mathrm{.}$$等号 $q=-2\sqrt{3}$ は $\sqrt{3}a+b=0$ のときで、円の条件と合わせると$$P=(-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},1),P=({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},-1)\mathrm{.}$$