北海道大学 2001年度 前期日程文系数学 第2問

(1)

折れ点は $x=1,2,3$ である。各区間で絶対値を外すと $y=\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }$ は$$y=\{\begin{array}{ll}6-3x& (x\leqq 1),\\ 4-x& (1\leqq x\leqq 2),\\ x& (2\leqq x\leqq 3),\\ 3x-6& (3\leqq x)\end{array}$$となる。

したがってグラフは、点 $(1,3),(2,2),(3,3)$ を折れ点にもつ折れ線である。傾きは順に $-3,-1,1,3$ と変化する。

(2) $$y=\sum _{k=1}^{2n+1}\mathrm{\mid }x-k\mathrm{\mid }$$ とおく。$x$ が整数点 $1,2,\dots ,2n+1$ を1つ越えるたびに、各項の傾きは $-1$ から $1$ に変わる。したがって全体の傾きは $-(2n+1),-(2n-1),\dots ,-1,1,\dots ,2n+1$ のように変化する。

このため関数は $x=n+1$ までは減少し、$x=n+1$ を過ぎると増加する。よって最小を与える $x$ は $x=n+1$ である。

このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle y_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{2n+1}\mathrm{\mid }n+1-k\mathrm{\mid }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n+(n-1)+\cdots +1+0+1+\cdots +(n-1)+n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(1+2+\cdots +n)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n(n+1)\mathrm{.}}\end{array}$$したがって最小値は $n(n+1)$ である。

数直線上で、左右対称な2点までの距離を組にする。
2点間の距離は、その間に $x$ を経由した距離以下であるという
三角不等式を各組へ適用する。

(1)

点 $1,3$ を対にすると$$\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-3\mathrm{\mid }=\{\begin{array}{ll}4-2x& (x\leqq 1),\\ 2& (1\leqq x\leqq 3),\\ 2x-4& (x\geqq 3)\mathrm{.}\end{array}$$これに $\mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }$ を加えれば$$y=\{\begin{array}{ll}6-3x& (x\leqq 1),\\ 4-x& (1\leqq x\leqq 2),\\ x& (2\leqq x\leqq 3),\\ 3x-6& (x\geqq 3)\end{array}$$を得る。したがって $(1,3),(2,2),(3,3)$ を順に通り、
傾きが $-3,-1,1,3$ と変わる折れ線である。

(2)

$j=1,2,\dots ,n$ に対して、三角不等式より$$\mathrm{\mid }x-(n+1-j)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-(n+1+j)\mathrm{\mid }\geqq 2j$$である。中央の項は $\mathrm{\mid }x-(n+1)\mathrm{\mid }\geqq 0$ だから、すべてを足すと$$\sum _{k=1}^{2n+1}\mathrm{\mid }x-k\mathrm{\mid }\geqq 2\sum _{j=1}^{n}j=n(n+1)\mathrm{.}$$$x=n+1$ のときはすべての不等式で等号が成り立つ。
さらに中央の項が0になるには $x=n+1$ が必要である。
よって最小値とそれを与える $x$ は$$n(n+1),x=n+1$$である。