北海道大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
グラフ $y=ax-b{x}^2$ が $P(p,p^2)$ を通るので $ap-b{p}^2=p^2$ である。$p>0$ より $$b={\displaystyle \frac{ap-p^2}{p^2}}={\displaystyle \frac{a-p}{p}}$$ である。
(2)
(i)
(1)を代入すると $$y=ax-{\displaystyle \frac{a-p}{p}}{x}^2=x^2+ax(1-{\displaystyle \frac{x}{p}})$$ である。ここで $0\leqq x\leqq p$ だから $x(1-{\displaystyle \frac{x}{p}})\geqq 0$ であり，固定した $x$ に対して $y$ は $a$ の増加関数である。
したがって $p\leqq a\leqq 1$ より，下端は $a=p$，上端は $a=1$ のときである。すなわち $$px\leqq y\leqq x-{\displaystyle \frac{1-p}{p}}{x}^2$$ である。
(ii) $D$ は $$0\leqq x\leqq p,px\leqq y\leqq x-{\displaystyle \frac{1-p}{p}}{x}^2$$ で表される。したがって図では，直線 $y=px$ と放物線 $$y=x-{\displaystyle \frac{1-p}{p}}{x}^2$$ にはさまれた部分を，$0\leqq x\leqq p$ の範囲で境界を含めて塗ればよい。両境界は $x=0$ と $x=p$ で交わり，後者は点 $P(p,p^2)$ である。
(3)
面積 $S$ は上下の差を積分して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^p\{x-{\displaystyle \frac{1-p}{p}}{x}^2-px\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-p){\int }_0^p(x-{\displaystyle \frac{x^2}{p}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-p)({\displaystyle \frac{p^2}{2}}-{\displaystyle \frac{p^2}{3}})={\displaystyle \frac{p^2(1-p)}{6}}}\end{array}$$である。 $1\mathrm{/}2\leqq p\leqq 3\mathrm{/}4$ で $$S^{\mathrm{\prime }}(p)={\displaystyle \frac{1}{6}}(2p-3p^2)={\displaystyle \frac{p(2-3p)}{6}}$$ である。したがって $p=2\mathrm{/}3$ で増加から減少に変わり，最大値は $$S\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)={\displaystyle \frac{2}{81}}$$ である。
最小値は端点を比較する。$$S\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{48}},S\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)={\displaystyle \frac{3}{128}}$$であり，$1\mathrm{/}48<3\mathrm{/}128$ なので最小値は ${\displaystyle \frac{1}{48}}$ である。

図は $p=0.68$ の例。固定した $x$ で上下境界の間を動く。